论数学思想及思维能力培养的重要性

论数学思想及思维能力培养的重要性

李红平

（贵州省习水县第二中学   贵州   习水  564602）

在课堂教学中，讲清数学方法，渗透数学思想，且有计划、有目的地组织数学思想方法的习题课、复习课，加强数学思想方法的指导。这样，才能使学生在学习数学过程中，同步地形成数学思想方法。学生做数学题时，会受不同的数学思想指导，会运用不同的数学方法，从而产生一题多解。反之，学生也会受同一数学思想指导，运用同一数学方法，解决不同的数学问题，从而产生多题一解。

1   分类思想

分类思想，就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的规律。所以，分类是近代和现代数学中一种重要的思想方法。作为一个数学教师，应该在教学中明确教给学生分类思想，培养辩证思维，及时纠正学生的知识结构网络。这样，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。

    例1：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

    为了理解数轴的实质，教师必须在教学中运用分类思想，教会学生在数轴上的“0”是分界点。它将实数分成两部分，正实数在0的右边，负实数在0的左边，在此基础上，强调所有实数都可以用数轴上的点表示，树立数形对应观念，了解有理数扩展到实数以后，数轴上每一个点都可以由唯一的一个实数来表示；反过来，每一个实数，都可以用数轴上的唯一的一个点来表示。即实数和数轴上的点是一一对应的，这样使学生较深刻地掌握了数轴概念。

    例2：解不等式kx2-3（k+1）x+9＞0

    解：当k＝0时，为一次不等式；k＝0，解是x＜-3；当k≠0时，为二次不等式。

这是质的不同，决定了解法不同，故需分类讨论，结论是：

（1）当k＝0时，不等式的解为x＜-3；

（2）当k＜0时，不等式解为K/3＜X＜3；

（3）当0＜k＜1时，不等式解为X＜3或X＞3/k；

（4）当k≥1时，不等式解为X＞3或X＜3/K。

2   函数思想

    函数思想，通常是指函数的意义、函数的定义域、值域和函数的极值等等。在中学数学中，许多数量关系，都可以用函数思想重新认识。如加法运算，被加数和加数的改变，会引起和的改变，因此，“和”就是加数和被加数的函数。同样，对于减、乘、除等运算都可得相应的结论。又如一个代数式中，如果将代“数”的文字a“变动”起来，视作变量，则关系式就是一个函数。同样，解方程，实质上就是求一个特殊的自变量x值，即函数的零点。在函数思想指导下，可使许多数学问题的处理达到统一。如多项式、不等式、方程等等。不少问题，如从函数观点出发分析解题，常常比较简明。

例3：已知直线y＝ax＋3直线y＝5x－b关于直线y＝x对称，求a和b。

解：互为反函数的两个函数一定关于y＝x对称，结论为a＝1/5，b＝15。

例4：已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，求证：a2+b2+c2≥43S

    证：此题有代数法、几何法、解析法等多种证法，如用函数观点指导，会使问题证明更加简捷明了。

设CD是△ABC底边AB上的高，CD=h，AD=m，DB＝n，如图则b2＝m2＋h2，a2＝n＋h2，S=1/2（m+n）h

∴a2＋b2+c2－43S=n2+h2+m2+h2+（m+n）2）－43×1/2（m+n）h＝2〔h2-3（m+n）h+m2+n2+mn〕在函数思想方法指导下，右边中括号内就是h的二次函数

f（h）＝h2-3（m+n）h＋m2+n2＋mn，而二次项系数1＞0，

又△＝3（m＋n）2－4（m2+n2+mn）＝－（m-n）2≤0

∴f（h）≥0，

∴a2+b2+c2-43S≥0即a2+b2+c2≥43S

3   转化思想

    在研究数学中，使一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法。面对一个数学问题，总是由未知向已知转化，由复杂向简单转化，还有不同数学问题之间的互相转化，目的就是将问题条件转化为问题的结论。

    例5：解方程2x4+3x3－16x4+3x＋2＝0

    分析：粗粗一看，这是高次方程，求解困难，但仔细观察方程的特点，其系数关于中间项对称的形式，是倒数方程，显然x≠0，故经过配方，化为关于两数互为例数和的形式的方程，即可用倒数转化，结论是x=-2±3，x＝2，x＝1／2。

    例6：已知b1-a2+a1-b2=1，且|a|≤1，|b|≤1，求证a2+b2=1，分析：条件中出现1－a2，1－h2，我们可以看成有两个直角三角形，它的斜边都是1，它们的两条直角边分别是a、b，所以代数证题可以转化为三角证题。证略。

4   数形结合思想

    数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，数形结合思想是研究数学的重要方法。著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微。”有些数量关系，借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化，而图形一些性质，借助于数量的计算和分析，得以严谨化。

    例7：若方程7x2－（m＋13）x＋m2－m－2＝0的两根x1、x2满足0＜x1＜1，

1＜x2＜2，求实数m的范围。

    解：利用数形结合方法，设y＝7x2－（m＋13）x＋m2－m－2作草图，这个开口向上的抛物线与X轴的两个交点分别落实区间（0，1）及（1，2）内。如图，由图形的性质可得：

f（0）＞0

f（1）＜0

f（2）＞0

即m2-m-2＞0

m2-2m-8＜0

m2-3＞0

即m＜-1或m＞2

-2＜m＜4

m＜0或m＞3

∴-2＜m＜-1或3＜m＜4

    应用函数的图像是数形结合解题的常用的方法，用图像法求解，往往可以收到直观和简洁的效果。

例8：若x2+y2=25，求函数z=8y-6x+50+8y+6x+50的最大值。

    解：此题仅用代数方法，一时难以下手，若用数形结合方法，则可以迅速解答。根据已知条件，则z的解析方式改写为：

z=x2+y2+8y-6x+25+x2+y2+8y+6x+25

=（x-3）2+（y+4）2+（x+3）2+（y+4）2

    则Z就可以看成圆x2+y2=25上的点P（x，y）到圆上两定点A（－3，－4），B（3，－4）的距离之和，这个和最大时，显然P应在优弧中点C（0，5），故知

Zmax=8×5+6×0+50+8×5-6×0+50=610

    例9：两个球O1和O2的体积的和为12π，它们的大圆的周长的和为6π，求这个球的半径。

    解：此题用代数方法，即可迅速求出球的半径，设球O1的半径为x，球O2的半径为y，则由题意得方程组：

43πx3+43πy3=12π

2πx+2πyπ=6π   即x3+y3=9①

x+y=3　　②　　①÷②∶x2-xy+y2=3……③

②2-③∶3xy=6即xy=2……④

③-④∶x2-2xy+y2=1即（x-y）2=1

∴x-y=1……⑤，x-y=-1……⑥

解x=y=3   x-y=1∴x=2   y=1   或x+y=3   x-y=-1 ∴x=1   y=2

所以球O1和球O2的半径分别为2，1或1，2。

    以上谈了数学思想方法的重要性以及几种数学思想方法。数学思想方法之问，是互相渗透，互相促进的。在教学中要有机地结合起来，只有强化数学思想方法的教学，才能更好地培养学生思维的灵活性和创造性。