基础课程与专业课程整合初探——由一道统计题引发的数学思考

 摘要：文章通过对一道统计题进行分析，联系相关的数学知识：从数列的概念、分段函数、函数的单调性和概率论——变量分布四个方面，把数学知识与统计知识结合起来，初步探究基础课程与专业课程的整合，做到基础课为专业课服务，体现数学来源于生活又应用于生活的实用价值。
　　关键词：数学问题；课程整合；实用价值
　　中图分类号： G640           文献标识码：A
　　文章编号：1002-7661（2008）06-0103-03
　　
　　问题：对某班40名学生某次考试成绩按试卷登记得到如下资料：
64  70  89  64  56  95  98  79   88  88  78  89  60  78  68  79  79  95  68  60  78  89  100  46  75  84  78  64  78  85  85  79  70  84  68  75  89  75   78  75
      请运用所学的统计知识对这次考试进行成绩分析。
      是高等教育出版社第二版《统计原理》第二章中要解决的问题。调查表明，在专业课程学习的过程中，其中部分知识，特别是统计图的分析，学生普遍反映难学，老师教得也比较吃力。
　　主要表现在以下几个方面：
　　1.数量对应关系模糊不清；
　　2.不理解统计图所采用的坐标系的含义；
　　3.难以借助图形的变化趋势进行问题分析；
　　4.数式、表格、图形的结合能力差。
　　解决这一问题牵涉多方面的数学知识，如数列，函数的性质与图象特征，概率论中的变量分布。
　　但是数学概念及公式定理与统计学名词、概念的说法有一些区别，统计图表也有其专业特色，不同于数学图象的抽象和严谨。学生在学习专业课程时，难以联系到数学基础知识，更谈不上知识迁移的灵活运用，也造成了“数学有什么用”的普遍疑问。那么我们怎样揭开数学抽象晦涩的面纱，让学生感受到数学的可亲可近呢？我认为最关键的是要改变数学课程重理论、轻应用的现状。
　　下面我针对财经专业，以上面的统计问题为例，初步探如何在数学教学中渗透相关的专业知识，凸现数学知识的实用性。
　　一、数列的概念
      以学生熟悉的实际例子讲解数列、数列的项、数列的前n项的和的定义。如前面问题中的成绩是按照登记的顺序排列的一列数，也就是一个数列，这个数列中的每一个数都叫做这个的项，一共有40项，其中第一个数——64——就叫做第一项，它的第十项是88，100是第23项。把这40个数加在一起就得到这个数列的40项的和S40=3100，从而算出班平均成绩为75分。这样的例子让学生看到了有用的数列，数列的项、数列的前n项的和等概念都有着实实在在的含义。在次基础上，衍生出各类数列，深化和巩固数学概念。
　　例如：这样登记的成绩是分散的、凌乱的，为了对这次考试进行成绩分析，我们进行如下的分组整理：
         90～100分   4人
         80～89分    10人
         70～79分    16人
         60～69分    8人
         60分以下      2人
　　由4，10，16，8，2这五个数又组成一个数列，记为{an}。
　　而如果按照优秀（90～100分）、良好（75～89分）、合格（60～74分）、不合格（60分以下）的等级进行分组又可以得到一个新的数列：4，24，10，2。而对应的优秀率、良好率、及格率、不及格率也组成一个数列：10％，60％，25％，5％。
　　把以上的分组情况列表表示出来：
表一

表二

　　可见，数列{an}与{bn}的各项的和都是总人数40。人数比重又称为频率，频率数列         、        的各项的和都是1。
　　通过对数列各项的分析与归类，利用数列中个项的数量后关系，对这次考试成绩进行定量定性分析，原先杂乱无章的一批数据变得有条理有系统，能够清楚地看到班级成绩的整体情况。而通过这样的实例，学生轻松自然地理解和掌握了数列的有关概念，并把财经专业的统计知识渗透其中，为后续学习打下基础。
　　二、分段函数
　　以考试成绩——分数为自变量x，以取得相应分数的人数为因变量，即函数y，那么表一中的分组情况可以抽象出下面的函数：

　　这种由多个式子表示的一个函数，称为分段函数。这个函数的定义域为区间[40，100]，值域为集合{2，4，8，10，16}。
　　要画出这个函数的图象，首先建立坐标系，X轴即横轴，表示分数，y轴即纵轴，表示人数。取点（40，2）和（60，2）并连线，取点（60，8）和（70，8）并连线，取点（70，16）和（80，16）并连线，取点（80，4）和（90，4）并连线，得到五条平行x于轴的线段，其中有四条不包括右端点。图象如下：
　图1
      图象具有很强的直观性，从图中可以清晰的看出90～100分的有4人，80～89分的有10人，70～79分的有16人，60～69分的有8人，60分以下有2人。
      利用图象分析函数性质时的几点注意：
      1.自变量与因变量的变化范围，即定义域为和值域；
      2.自变量与因变量的对应关系；
      3.随着自变量由小到大的变化，因变量的变化趋势。
      “数形结合”是学习数学的一大重要方法，使用图象来理解各种各样数学表达式的含义，特别是函数的图象非常有利于了解函数的性质。
　　学会看图、画图、用图能够促进学生轻松自如地学会统计图。为此，进行变式拓展 ：上图中，过各线段的端点做x轴的垂线，得到五个直条方形。
　　
   图2
　　统计原理中的直方图就是以这种图象为理论基础的。
　　三、函数的单调性
　　把图2中各条形顶端中点两两连接起来，就形成了折线图。从折线的变化趋势可以看出，在一定范围内，随着分数的增加，取得相应分数的人数也增加，而后当分数继续增加时，取得相应分数的人数反而开始减少。
　　
   图3
　　为了更精确的反映该班该次考试成绩的情况，可以把分组情况细致化。随着各组组距缩小，图2中直条方形数增加，相邻条形的中点就越来越接近，连接各中点的折线就越趋向于圆滑。

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