数学理解之面面观

图1：一种数学理解性教学模式的设计要素
    促进理解的数学教学设计模式 要 素 具体成分与策略 解 释
    目标知识设计 背景性知识 强调数学知识应用与产生的真实背景（包括知识的历史渊源、应用条件）
    结构性知识 强调数学知识内部及其与其他知识之间的内部结构性的网络联系
    策略性知识 强调活动中的反思、元认知等
    过程性知识 活动中的一种个人体验、信念、感悟
    活动过程设计 实作 对主题的弹性实作：解释、判断、推断或者以超越知识和常规技能的方式应用，培养弹性知行能力
    兴趣指向 与学习者真实生活背景、兴趣性向相联系
    生成性 在活动参与中不断生成意义以及新问题，体现理解的螺旋发展
    构筑思维挑战 问题要具有一定挑战性，是一种结构不良的困境
    策略方法设计 搭建与拆除脚手架 策略、认知工具以及相关知识
    互动合作 鼓励小组、全班甚至家长、教师的对话、合作以及意义协商
    过程性多元评价 关注学生生成理解的过程，可通过多次对话、实作检验、小测验、档案袋、项目行动等了解学生的理解程度

在实践层面上，对于数学理解的评价应当着重强调以下三个方面：
    首先，既运用非正规评价（informal assessment），也运用正规评价（formal assessment）。非正规评价包括：对学生活动与行为的观察，以了解学生对数学概念的理解、思维过程和问题解决策略；课堂讨论，以使教师收集学生推理的信息。总之，通过这种非正规评价而获得的信息能改善教学决策。正规评价应该按照如下理念进行设计，即，让学生展示他们知道的和会做的，而不是去确认他们不知道什么。正规评价主要包含两种：单元末评价（end-of-unit assessment）和年级末评价（end-of-grade assessment）。单元末评价要求学生面对问题情境选择适当的数学工具，这些问题情境所依托的境脉不同于教学单元中所提出的境脉。同时，这种评价能为教师提供机会去检测和监控学生在不同境脉中运用同一概念知识的灵活性。此外，由于单元末评价不要求学生之间、师生之间的交互，所以，它也为学生提供了以书面形式解释和展示他们自身的解决方法和思维过程的机会。年级末评价则提供了一些证据，以证明学生对一些课程中的更加重要的领域（domain）的理解深度。从根本上说，这种评价不单单牵涉到对某个单一领域思维的评价，而且也在评价学生是否能把数学变成他们自己的东西。
    其次，由于理解的形成需要较长时间，所以评价要反映理解的持续发展过程。评价需要关注在特定时刻学生所构建的关系，关注这些关系在时间推移中的变化，关注在处理新情境中对领域中的知识的资源化运用，关注学生所运用的推理复杂性。
最后，要特别强调并关注推理的层次（levels of reasoning）。随着理解的发展，学生会以更加有力的方式使用概念和程序，所以评价要关注学生在使用概念和程序过程中运用的推理层次，由低级到高级主要包含：复制(reproduction)；联系（connection）；分析（analysis）。复制主要包括回忆事实和定义，以及有效运用一些标准化程序，如完成特定的计算、解一个方程或绘制图表。联系主要包括领域内以及跨领域的联系、信息的整合，以及对解决非常规问题所需要的适当数学工具的决策。分析是一种复杂层次的数学思维，包括解释、剖析和数学论证；包括学生自我模型和策略的形成；也包括归纳概括。
    近年来，美国数学教育界试图从课程设计与实施的角度反思传统学校数学教育并对理解什么样的数学做更新的诠释。全美数学教师协会（NCTM） 指出，要把理解数学的应用作为核心关注点，所有年级层次的学生都应把数学理解为完全整合的探究领域，旨在帮助他们解决问题、交流、推理和创设连接。美国数学科学教育局（MSEB）在一份名为《站在巨人的肩膀上》的报告 中所阐发的观点更富创新与改革意味："人类运用数学语言所做的就是描述模式。数学是一门探索性科学，它寻求对各种模式的理解，这包括自然界的模式、人类思想创造的模式、由其他模式创造的模式。为了使孩子们在数学上成长起来，必须向他们展示丰富的大量的适合他们自己生活的模式，通过这些模式，他们能看到多样、规则和相互联系。"他们进而归纳了五种模式，并认为是具有根本性和普遍意义的，即：维数、数量、不确定性、形状和变化。笔者相信，这份报告所展示的各种非常有见地的思想观点，在提供对数学本身的重新解读之外，或许影射了面向21世纪的数学课程的发展指向。

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