数学理解之面面观

华东师范大学课程与教学研究所博士生 吕林海 200062

数学理解已越来越成为数学教育的热点话题，国内很多学者就该论题发表了自己的研究成果与心得 。总体说来，大家是在力图借鉴国外的理论成果（主要是认知主义学习心理学、建构主义学习理论）的基础上，融合自己的理论认识与实践体悟，从各个微观层面上（理解的类型、理解的模型、解题中的理解、概念理解等）构建既有理论支撑，同时又具有实践可操作性的策略模式。本文试图跳出这一研究思路，在着力吸收国外对理解与数学理解的最新研究进展基础上，截取几个具有研究价值的视角（认知建构观、情境文化观、意义观、教学设计观、评价观），从整体上输理与探悉数学理解的各种理论意义与教育实践意涵。笔者试图通过论述，对为什么要理解数学、为什么要研究数学理解、数学理解的本质是什么、怎么样在教学中去促进数学理解以及如何评价理解等一些带有本体论意味的问题做一个概要性、宏观性的分析探讨，希望能使大家获得对数学理解的更全面、更深刻的"理解"，从而对数学教学实践有所助益。
    一、数学理解的意义观
    数学理解的意义何在？对该追问，笔者将从理论研究的意义、个体发展的意义和社会需求的意义等三个方面做出辨析。
    从理论研究的角度看，理解与数学理解的研究意义体现在它的广阔包容性和相对独立性。可以说，理解与数学理解的研究涉足哲学、社会学、学习学、人类学、文化学等各个领域。它为我们提供了一个研究视角，使我们在把握各个背景领域的内涵演化的同时，不断丰富、充实、更新着对它的认识与解读。以学习科学领域中理解观的演变为例。行为主义崇尚刺激反应之间的联结，闭口不谈"心理、意识与理解"等不可捉摸的东西。格式塔学派崇尚"完形"，认为理解就是"顿悟"，就是在心理上构建"完形"。到了认知主义学派，奥苏伯尔认为理解就是意义同化，布鲁纳则持结构主义理解说。随着建构主义学习理论转向社会建构的视角，理解被认为是"通过社会性的相互依赖而获得的"、"对意义的理解依赖于情境脉络" 。近来，学习理论逐渐发展到情境认知理论（包含心理学视角和人类学视角），对理解的认识必然也将会继续拓展与深入（后有详述）。另一方面，对于数学理解的研究，始终都有一种相对独立性的特点，这又可显示该课题研究所独具的意义与价值。比如，数学教育家芬尼曼、荣伯格、萨克斯、塞平斯卡、希伯特等都分别从课堂教学、文化与认知发展、认知障碍与发展、教学设计等角度以专著形式发表了对数学理解的独特见解，在体现该课题研究相对独立性的同时，这些研究都展现了当今数学教育对该课题的前沿成果。
    从个体发展的角度看，数学理解的意义更是清晰可见。首先，知识的理解有助于完善个体大脑内部的知识结构网络，从而推动记忆，进而又更易于同化与理解新知识、新信息，这是一个良性学习过程。"理解不仅仅是把新知识与先前的旧有知识产生联系，而是创建了一个丰富的、整合的知识结构，……，当知识被高度结构化的时候，新的知识就能被连接、并被融合进已有的知识网络中，而不是只产生元素之间的单个连接，……高度结构化的知识不易被遗忘，它有着多重途径被找回，而孤立的知识片段更难于被记忆。" 其次，知识只有被深刻理解了，才具有迁移与应用的活性，这种迁移能力对个体未来发展是十分重要的。沃特海梅尔曾做过这样的研究 ，让两组学生对平行四边行面积公式分别展开理解法学习和死记法学习。前者学生通过三角形割补关系理解了平行四边形可以重新组合成长方形，所以他们很容易内化平行四边形面积公式的内在意义以及平行四边形本身的结构关系。后者学生则要求死记平行四边形面积公式。在随后的迁移测试中，在一些解决平行四边形面积的典型问题上，两者都表现出色。但对一些非常规问题（如竖置的平行四边形、带有不规则割补的平行四边形），前者表现出色，而后者却无能为力。所以，迁移与应用受理解性学习程度的影响，而非仅靠记忆事实和墨守成规。
    从社会需求的角度看，信息化社会和知识经济社会所需要的是那种能不断学习新知识、新技能，能应用自己的已有知识去解决新问题的创新人才。从这个意义上说，仅靠机械记忆的知识很可能走出校门就毫无用处，而具有稳定性与恒常性的数学素养与数学理解则显得格外重要。数学教育家卡平特和利热更是明确指出："为了培养面向21世纪的具有数学素养的公民，课堂需要被重新构建，以致于数学能被理解地学习。"
    二、数学理解的认知建构观
    建构主义作为与认知主义一脉相承的学习理论，对于理解与数学理解的关注与认识在思想深处有着诸多的相似或共通之处。近年来，很多学者都试图借助于认知建构的观点去发展对数学理解的认识。总体说来，数学理解的认知建构观的核心思想主要体现在如下几个方面：
    第一，数学理解的本质是数学知识的结构化、网络化和丰富联系。建构主义学习观一再强调 ："要对知识形成深刻的、真正的理解，这意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的，而不是零碎的、只言片语的。"而希伯特教授则用信息的内部表示和构成方式来描述理解 ，"我们认为一个数学的概念、方法或事实是理解了，是指它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，是指它的智力表示成了表示网络的一个部分。理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。"
    第二，数学理解的特征是生成性和发展性的。表现在如下几个方面。首先，理解不是一种或有或无的现象，实际上所有复杂的数学概念、数学命题都可以在一定层面上、以完全不同的方式被理解。其次，知识的高度结构化、网络化有助于理解更具生成性。因为，此时新信息更易被连接或纳入到已有的知识网络中，从而使得已有的理解不断拓展、深化。再次，当在不同的问题情境中灵活而反复地运用同一知识时，与这一知识相关的各种联结将更加丰富、更加牢固，从而个体的理解也获得进一步发展。
    第三，数学理解的形成机制是重新组织。实际上，这是从更为微观的角度探讨数学理解的生成性和发展性。当现存的网络联上新的信息或者在以前没有联系的信息之间建立起新的关系时，智力网络必然要发生变化，这种变化就是重新组织。希伯特教授曾着重指出，这一组织过程并非一帆风顺，有可能是一个更为紊乱的过程，有时候表现成暂时的倒退，有时候也是进步。最终，随着重新组织产生更丰富、更具强有力联系的、更有凝聚力的网络，理解就增长了。

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