类比学习的实践与反思——以等比数列的学习为例职高获奖论文

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增大字体作者：本站收集整理来源：本站收集整理发布时间：2010-07-26 18:32:41

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图1 类比和归纳构建等比数列的概念

从事例的组织方式来看，教学是通过归纳的方法来建构等比数列概念的。但我们也可以开辟一个新的视角——类比视角，即把每一个事例中存在的规律推广到未知的数列中。由“一尺之棰，日取其半”得到一列数：1，1/2，1/4，1/8，……分析各项之间的关系，则有从第2项起，每一项与其前一项之比均为1/2，那么第n项应为(1/2)(n-1)。通过类比我们就可以得到这样一类数列：第1项为a1，从第2项起，每一项与其前一项之比均为q，第n项应为a1q(n-1)。由此可见，通过归纳或类比均可建构等比数列的概念，但两条途经之间既有联系又有区别（图1）。

等比数列的学习是在等差数列的基础上进行的，因此在对等比数列的相关概念下定义时，可以类比等差数列进行学习（表2），从而顺利构建等比数列及等比中项的概念，通过大胆预测并小心求证等比中项与前后项的关系、通项公式等，并认识等比数列与等差数列的差异性：和差关系与积商关系。

表2 等差数列与等比数列概念的类比
项目	等差数列	等比数列
定义等差数列→等比数列公差→公比	一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差。	一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等差中项→等比中项和的关系→积的关系	由三个数a，A，b组成的等差数列，A叫做a与b的等差中项。2A=a+b	由三个数a，G，b组成的等比数列，G叫做a与b的等比中项。G2=ab
通项公式及推广形式和的关系→积的关系	an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d（n，m∈N*）	an=a1q(n-1) an=amq(n-m)（n，m∈N*）

2.类比中探索规律

在认识等比数列与等差数列相似性和差异性的基础上学习等比数列的性质，可以驾轻就熟地运用类比的方法从等差数列的性质预测等比数列的性质并进行证明（表3）。

表3等差数列与等比数列性质的类比
性质	等差数列	等比数列
Ⅰ	若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则ak+al=am+an。	若{an}为等比数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则akal=aman。
Ⅱ	若{an}为公差为d的等差数列，则{c+an}是公差为d的等差数列。	若{an}为公比为q的等比数列，则{can}是公比为q的等比数列。（c为不为零的常数）
Ⅲ	若{an}为公差为d的等差数列，则{a2n}是公差为2d的等差数列。	若{an}为公比为q的等比数列，则{a2n}是公比为q2的等比数列。
Ⅳ	若{an}，{bn}是公差为d1、d2的等差数列，则{an+bn}是公差为d1+d2的等差数列，{an-bn}是公差为d1-d2的等差数列。	若{an}，{bn}是公比为q1、q2的等比数列，则{anbn}是公比为q1q2的等比数列，，{an/bn}是公比为q1/q2的等比数列。
Ⅴ	若{an}为公差为d的等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列。	若{an}为公比为q的等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，(k，m∈N*)组成公比为qm的等比数列。