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教师培训资料“式与方程”和“正比例、反比例”

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增大字体作者：本站收集整理来源：本站收集整理发布时间：2009-08-03 09:33:45

C、表示公式

（有关图形的计算公式.长方体的周长公式c=（a+b）x2,c表示周长。A表示长方形的长。B表示长方形的宽）

D、表示常见的数量关系

例如：速度乘以时间等于路程s=vt,s表示路程、v表示速度、t表示时间

2、会用方程表示简单情境中的等量关系。

例如：小刚的跳高成绩是1.39米，比小军少0.06米，小军的跳高成绩是多少米？

等量关系：小军的成绩—小刚的成绩=0.06米

解：设小军的跳高成绩为x米。

X—1.39=0.06

3、理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)。

等式的性质：

(1）、在等式里，等式的两边同时加上或者减去相同的数，结果仍然是等式。

(2)、等式的两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。

例如在解方程中：

40x=960

解：40x÷40=960÷40

x=24

解方程要注意两个知识点：

（1）、解方程的概念是：求方程中未知数的值的过程。

（2）、方程的解概念是：求出的未知数的结果。

4、会用方程解决生活中的实际问题

（1）、常见的等量关系

单价x数量=总价单产量x数量=总产量

速度x时间=路程工作效率x工作时间=工作总量

例如：王老师花78元买了12本笔记本，王老师买的笔记本没本多少元？（用方程解）

等量关系是：单价x数量=总价

解：设每本笔记本x元。

12 x = 78

X = 78÷12

X = 6

（2）几何问题

例如：一个平行四边形的面积是51平方米，它的底是17米，它的高是多少米？

等量关系：平行四边形的面积=底x高

解：设高为x米

17x=51

X=3

（3）、相遇问题。

速度之和x相遇时间=总路程

例如：甲乙两城的距离是270千米，一辆货车从甲地开往乙地，货车每小时行56千米，一辆客车从乙地开往甲地，经过3小时两车相遇。客车每小时行多少千米？

等量关系：(货车的速度+客车的速度)x相遇时间=总路程

解：设客车每小时行x千米。

（56+x）X 3=270

（4）、和（差）倍问题

例如：饲养小组，养白兔和黑兔一共有28只，养的白兔是黑兔的3倍，饲养小组养白兔和黑兔各多少只？

等量关系：黑兔+白兔=28

解：设黑兔有x只，那么白兔就有3x只

X+3x=28

4x=28

X=7 3x=3x7=21只

答：黑兔有7只，那么白兔就有21只

（5）、分数问题（百分数问题）

例如：一件衣服打完八折以后，现价是180元，原价是多少元？

等量关系：原价 — 降价 = 现价

解：设原价为x元

X-20%x=180

80%x=180

X=225

答：原价是225元。

第三讲正比例与反比例

第一课时

1、比

A、知识点：

（1）比的定义：两个数相除又叫两个数的比。（比也可用分数表示2：3= 任读2比3）

（2）比、除法和分数三者之间的关系。

比	前项	比号	后项	比值	一种关系
除法	被除数	除号	除数	商	一种运算
分数	分子	分数线	分母	分数值	一个数

（3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以（0除外）相同的数，比值不变。

（4）运用比的基本性质可以化简比和求比值

（重点强调：化简比的结果任然是比，而求比值的结果是一个数）

2、比例

知识点：

（1）、定义：表示两个比相等的式子叫做比例。

（2）、比例的基本性质：在比例中，两个前项的积等于两个后项的积。

3、比例尺

《比例尺的意义》是在学生学习了比的意义和基本性质的基础上进行教学的，主要教学比例尺的意义及其应用，这部分内容有较强的实际应用价值，它可为学生架起一道数学学习和现实生活之间的桥梁，使他们充分感受到数学的现实意义，从而进一步激发学习兴趣，并为后面学习比例的意义和基本性质打下良好的基础。所以在设计本课教案的过程中非常注重与生活实际的结合，利用学生熟悉的素材组织教学过程，并注意到应用比例尺解决问题。

图上距离：实际距离 = 比例尺

4、按比例分配按照一定的比进行分配，结合生活实际进行生活化的分配。

知识点：知道按什么比来分的，再求出总份数，按照每种物质所占的总分数的个数进行，求一个数的几分之几是多少，就行了。

5、知识点举例：

（1）化简比 21 ：49 = 21÷7 ：49÷7 =3 ：2

求比值 3：2 = 3÷2 =1.5

（2）填空

2 ：3=（）÷ 9 = 12÷（）=（）/24 = 80：（）

（3）、在比例尺是1：12000000的地图上，量得济南到青岛的距离是4厘米。济南到青岛的实际距离是多少千米？

根据比例尺的意义。图上距离：实际距离=比例尺

解：设实际距离为x厘米

4：x=1：12000000

X=48000000

48000000厘米=480千米

（4）一种混泥土，石子、沙子和水泥三种物质的比是3 ：2 ：1，要配制这种混泥土1560千克，需要石子、沙子和水泥各是多少千克？

3+2+1=6 石子：1560x3/6=480千克沙子：1560x2/6=320千克

水泥：1560x1/6=160千克

答：需要石子480千克、沙子

植树节，我校四、五、六年级接到800棵植树的任务，四年级有学生46人，五年级有56人，六年级有58人。四五六年级各班各分多少棵树？

总人数： 46+56+58=150

四年级：800x46/150=276棵五年级：800x56/150=棵

六年级：800x58/150=棵

答：四年级分276棵树，五年级分336棵树，四年级分340棵树。

第二课时

正比例和反比例的意义课程解读

已经学习了比和比例的知识，认识了常见数量的关系。两个数量保持商一定或积一定的变化，就是正比例关系或反比例关系，这是初步的函数思想。正比例和反比例历来是数学里的重要内容之一，本单元通过加强正、反比例的概念学习，突出正比例关系的图像及简单应用，同学们要重视正、反比例与现实生活的联系，能在现实背景下熟练判断比例关系，

一、抽象实际事例中的数量变化规律，形成正比例、反比例的概念。

1、成正比例的量

两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化。一种量增加，另一种量也相应增加，一种量减少，另一种量也相应减少。而且这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。例如在数量关系中，路程比时间等于速度是旧知识，速度“一定”是这个问题情境里的规律，是正比例概念的生长点。路程和时间是两种相关联的量，“时间变化，路程也随着变化”。一辆汽车行驶的路程和时间的比的比值总是一定，可以说路程和时间成正比例，它们是成正比例的量。

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示： (一定) 。

2、成反比例的量

两种相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化。一种量增加，另一种量反也减小，一种量减少，另一种量反而增大。而且这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。例如，数量关系式“单价×数量=总价（一定）”，这个问题情境里两个变量的变化规律。单价和数量是两种相关联的量，它们成反比例，是两个成反比例的量。

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用式子表示： (一定) 。

二、正比例、反比例的比较

共同点：（1）正比例、反比例研究的都是两种变量，即都是两种相关联的量。

（2）两种相关联的量是成倍数的变化（即乘、除关系），而不是增加河减少（即加、减关系）。

不同点：正比例是两种量中对应的两个数的比值一定。也就是正比例中两种变量的变化是“同扩同缩”；反比例是两种量中对应的两个数的积一定。也就是正比例中两种变量的变化是“扩缩相反”。用表来表示它们的异同为：

相同点		不同点
正比例	都有三种量：一种不变量，两种变化的量。两种变量是相关联的，一种是随着另一种量的变化而变化。	两种变量中相对应的两个数的比值一定。关系式： (一定)
反比例	都有三种量：一种不变量，两种变化的量。两种变量是相关联的，一种是随着另一种量的变化而变化。	两种变量中相对应的两个数的积一定。关系式： (一定)

三、 “根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”。学习正比例图像有三个步骤，第一步认识图像上的点，能说出其各点的具体含义。第二步认识图像的形状，从图中描出的点在一条直线上，体会正比例关系的图像是一条直线。了解正比例图像是直线对以后画图能起两点作用：一是画正比例关系的图像，可以根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线；二是如果按正比例关系画出的点不在同一条直线上，表明画点出现了错误，应及时纠正。第三步应用图像，估计两个量的对应关系。

判断实际问题里相关联的两种量成不成正比例有两种思路，一种是看画成的图像，如果图像是一条直线，那么两种量成正比例；如果图像不是一条直线，那么两种量不成正比例。另一种是根据正比例的意义，利用各组对应的数据写出比、求比值，从比值是否相等作出成不成正比例的判断。

1、正比例、反比例

知识点：

1、两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，两种量的比值一定，我们就说这两种量成正比例的量，它们的关系成正比例关系。

正比例关系式：y/x=k（一定）

2、两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，两种量的积一定，我们就说这两种量成反比例的量，它们的关系成反比例关系。

反比例关系式：xy=k（一定）

（1）在实际情境中理解什么是按比例分配，并能解决简单的问题。

（2）通过具体问题认识成正比例、反比例的量。

（3）能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。［参见例8］
例8 彩带每米售价4元，购买2米、3米、……彩带分别需要多少钱？

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