架桥铺路，巧径通幽－－例谈构造性思想方法在初中数学解题中的应用.doc

实验学校  江香娥

【摘要】构造性思想方法是一种极富创造性的数学思想方法，根据待解问题的特殊性，构造一个新的数学模式，通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。本文结合实例从构造方程、构造函数、构造不等式、构造图形、构造实例和反例这几种常见形式展开探讨。

【关键词】构造性思想方法 构造 解题

《初中数学新课程标准》提出：“为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。” 构造性思想方法作为一种极富创造性的数学思想方法，对于培养学生的数学能力和数学素质有很大的作用，在解题中应用可以拓宽学生的解题思路，激发学生思维的火花，往往会获得“巧径通幽”的奇特效果。

构造性思想方法含义很广，通常认为，根据待解问题的特殊性，设计并构造一个新的关系系统，即构造一个新的数学模式（比较熟悉并易于研究和解决的模式），通过对这个数学模式的研究实现原问题的解决。

构造性思想方法具有很大的灵活性，根据待解问题的特征，既可以构造方程、恒等式、不等式、函数等，利用“数”的模式解决有关数或形的问题；也可以通过构造图形、图象等，利用“形”的模式解决有关数或形的问题。

构造性思想方法在初中数学的解题中还是比较常见的，下面，我根据构造性思想方法经常应用的几种形式并结合自己的教学实践，用具体的例子谈谈这一思想方法在初中数学解题中的应用。

一、构造方程

方程是中学数学中解决问题的一个重要工具，很多问题若用一般的方法去解决比较繁琐困难，但如果通过构造方程来解决，往往能够化繁为简，化难为易。在构造方程的解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

例1、如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数。

分析：由题中的已知发现角与角之间要么相等，要么有倍分的关系，因此可设出其中一个角为x，把其他角都表示出来，再找出等量关系，构造一元一次方程来解决。

解：设∠ABD为x，因为DE=EB，则∠EDB=∠ABD=x，∠AED=∠EDB

+∠ABD=2x，因为AD=DE，所以∠A=∠AED=2x，∠BDC=∠A+∠ABD=3x，因为BC=BD，所以∠BDC=∠C=3x，因为AB=AC，所以∠ABC=∠C=3x，根据∠A+∠ABC+∠C=180°得8x=180°，所以∠A=2x=45°。

点评：在求线段长、求角度、求点的个数、折叠问题等等几何题中，经常根据题目中的等量关系来构造方程，常用到的关系有：等腰三角形和直角三角形的边角关系；面积不变性；全等三角形和相似三角形的性质等。

例2、已知实数m，n满足3m²-5m-7=0,7n²+5n-3=0，且mn≠1，求 的值。

分析：此题已知中两个等式的系数比较有特点，结合所求的式子，可将第二个等式两边同时除以n²，就可得到跟第一个等式系数一样的等式，根据这样的特征此题可构造一元二次方程，根据一元二次方程根与系数之间的关系来求值。

解：根据已知显然可得n≠0，所以7n²+5n-3=0可化为 ，由mn≠1得 ，所以m, 是关于x的方程3x²-5x-7=0的两个实数根，根据根与系数之间的关系得 。

点评：含有具有共同特征的等式可让人联想到韦达定理，此类问题可构造方程来解决。

二、构造函数

函数是初中数学中另一块重要的内容，在很多问题中构造函数模型，利用函数思想去思考、解决问题，将会大大减少问题的复杂性，优化问题的解决。

例3、如图，已知直角梯形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC=6，OA=OB=10， 交AC于D点，且 ，求D点的坐标。

分析：此题中的点D是AC、PQ，OE的交点，因此可构造函数，求出两条直线的函数解析式，利用函数的知识去求点坐标。由已知容易得A、C的坐标，但P、Q两点的坐标不好求，结合OA=OB, 且 ，联想到延长OD交AB于E，可求出点E的坐标，进而可求出OE的函数解析式，最后根据AC、OE的函数解析式求出点D的坐标。

解：延长OD交AB于E，易求 ，

所以B点坐标（8，6），又因为A（10，0），

所以 的中点坐标为（9，3），

所以OD的表达式为： ，          

因为A（10，0），C（0，6），

所以AC的表达式为： ，     

由 ，解得：  ，     故点D的坐标为（ ， ）。         

点评：求平面直角坐标系中的点坐标、线段长度、面积大小等问题往往可以构造函数来解决。

例4、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，当E运动到何处时，△DEF的面积有最大值，最大值是多少？
分析：根据已知发现面积随着线段BE的变化而变化，可设出两个变量，构造函数来解决。

解：延长FE交DC的延长线与G，由EF⊥AB，AB∥DC可得EF⊥DG，所以∠BFG=∠G=90°。

所以DG为△DEF中EF边上的高，由∠A=120°，可得∠B=∠ECG =60°，设BE=x，所以EF=BEsinB= ，在Rt△CEG中，CE＝3−x，GC＝(3−x)cos60°＝ ，所以DG＝DC+GC＝4+ = ，所以 （其中0＜x≤3）；

因为a＝ ＜0，对称轴 ＞3，所以当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，

所以当x=3即E与C重合时，S有最大值，最大值为 。

点评：此题是初中数学中比较常见的“最值问题”，常用方法就是构造函数模型，利用函数的增减性，在自变量取值范围内确定最值。

三、构造不等式（组）

构造一元一次不等式（组）解题是新课标中考命题的重点和热点之一，对含有不等关系的题目，可以考虑通过构造不等式（组）来解。

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