学习数学的“捷径” ——培养学生数学能力的基本途径

    概念是构成判断、推理的要素，是最基本的思维形式，教师引导学生把抽象的概念具体化，用具体化、形象化的东西来帮助理解概念，教师还可以适当地列举一些反例，让学生在辩证、比较的过程中，澄清错误的含糊认识，加深对概念的正确理解，最后教师应要求学生用准确的语言表述数学概念。

    例如：绝对值的概念，如何理解|x|
    从代数意义上讲一个数的绝对值总是非负的，这里|x|中的“x”也可以表示一个式子。
    从几何意义上讲，|x|表示在数轴上数x所对应的点到原点的距离。
    2.2.2做正确判断的思维训练
    判断是对某种事物进行肯定或否定的思维形式。概念与概念之间以一定的方式联结起来就构成判断，在数学教学中培养学生做出正确判断的能力，主要是培养学生正确地掌握定义、公理、定理、性质和法则并能正确运用的能力。
    2.2.3做关于推理论证的思维训练
    中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的，数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理过程，因此，在传授数学知识过程中，教师要严格遵守逻辑规律，正确运用推理方法，潜移默化的培养学生逻辑思维能力

    2.3在知识的形成与运用中，逐步培养归纳，演绎和类比的推理能力。       

    归纳是一种由一系列具体的事实概括出一般原理的推理方法，演绎是由一般原理推出关于特殊情况下的结论的一种推理方法，归纳和演绎是相对的两种推理方法,教师应不失时机地培养学生的归纳、演绎的推理能力。例如：通过有理数加法法则、有理数乘法法则、圆周角定理和弦切角定理的教学，渗透归纳的方法，将分式与分数进行类比，得出分式的概念、基本性质、约分、通分、运算法则等。
    2.4要引导学生总结解题规律，积累解题经验
    数学中有很多解题方法和技巧隐含于课本例题解法中，教师要善于启发引导学生去发掘它、去提炼它。例如：等比定理的证明，可以提炼出比值法，求分式的定义域，隐含着相对法、勾股定理的证明，课本中用的是面积割补法等。
    例4：初二数学课本中有一例题                      
    已知△ABC，AB⊥AC，AD⊥BC                     

    求证：△ABC∽△DBA∽△DAC
    证明：略                               

    另外, 通过这题我们可以挖掘出相关的乘积式        
    如AB2=BD•BC，   AD2=BD•CD，   AC2=CD•BC,    AB•AC=BC•AD
    2.5通过反例剖析，纠正逻辑性错误

    给学生进行逻辑思维训练，可以树立正面榜样，再通过反例的剖析纠正逻辑性错误，可以加深学生逻辑思维的理解。教师可以及时指出并纠正学生在答题求中暴露出来的逻辑错误。教师也可以剖析典型性的逻辑错例。可在课堂讲解剖析，或通过数学板报、数学园地，让学生辨别正误、吸取教训，以免覆辙。
    2.6在培养学生逻辑思维能力的同时，也要重视直觉思维的培养。

    就总体而论，初中数学只是具有一定科学形态的体系还不是严格的科学体系，有些内容是凭直觉承认它成立的，而不是经过严格证明的，如同底数幂的乘法性质 是通过不完全归纳法得出来的，单项式乘法法则是从个别例子概括抽象得出的，因此，在教学中要鼓励学生大胆发言，大胆猜想，逐步培养直觉思维的品质。
    3.培养空间想象力的培养途径
    根据学生的接受能力和初中数学教学内容的特点，九年义务教育初中数学教学大胆提出“发展空间想象力”，什么是空间想象力呢？空间想象力是指在头脑中能对研究对象的空间图形（包括平面图形）建立起正确的表象。具体要求是：能够由形状简单的实物想象出几何图形；由几何图形想象出实物的形状；由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形。怎样培养学生的空间想象力呢？
    3.1借助实物模型进行直观教学

    借助实物、模型等直观教具进行教学，是培养学生空间想象力的重要手段。
    例如：新教材初中数学七年级上的第一章《丰富的图形世界》这章的主要内容就是研究我们生活中熟悉的图形，包括图形的形状、图形的展开与折叠、对图形的切截，从不同方向看图形等，在平面图形与几何体的相互转换中逐步发展空间想象力。这样在数学教学中，教师应引导学生对实物、模型进行观察、比较、想象，由实物抽象出空间图形，把实在的物体与示意图联系起来，使空间形式在学生头脑中具体化、形象化。
    3.2重视识图与画图的教学

    模型是初步形成概念的辅助工具，但过分依赖模型又将妨碍空间想象力的进一步发展，重视识图与画图实现由有“型”到无“型”过渡的有效手段. 例如初中数学新教材七年级上从不同方向看，教师可先摆出模型，引导学生从正面、左面及上面观察物体后再画出图形，给出主视图，引导学生摆出模型，反复训练几次后，再训练学生，由主视图画俯视图及左视图等，另外还要让学生根据文字的叙述自己画出图形来。所以加强识图与画图的训练，能最简捷最直观地表达出空间形式。
    3.3通过数形结合培养空间想象力
    数形结合是直观与抽象、感知与思维的结合在教学中加强数形结合的训练，可以沟通几何与代数之间的联系，有效地培养空间想象力。
    例5：若一次函次y=kx+b的图象经过点A（m，1）和点B（-1，m）其中m是大于1的常数，则必有（ ），

    A 、k＞0 b＞0，        B、 k＜0 b＞0， 

    C 、k＞0 b＜0，        D、 k＜0 b＜0
    此题如果用纯代数方法解学生会感到无从下手，但若利用数形结合，由数思形，依题画出草图，应选B
    3.4强化基本图形的作用
    任何一个复杂图形，都是由两个或两个以上的基本图形运用重叠、翻折、旋转、平移等方法进行的有机组合，教学中引导学生善于从复杂的图形中发现基本图形或向基本图形转化，通过对图形的合分训练，培养空间想象力。
    最后，空间想象力的培养不是一朝一夕之事，也不能只靠几何课的教学来实现，培养空间想象力应贯穿于数学各个分科教学中。
    总之，上述三种能力的培养是不可分割，应该在教学过程中，把三种能力的培养有机的结合起来，互相促进，我们知道各部分中学数学内容，一般都同时包含有运算、推理和作图，因此在传授各部分数学知识时，都应考虑到培养各种能力的因素，同时要考虑培养能力的重点和相互配合的问题，在训练中应有计划地组织培养各种能力。还要指出，在培养学生上述三种数学基本能力的同时，进一步培养学生创造思维能力，独立获取知识能力、发展智力，也是现代教学的主要任务，因此，必须进行教学改革试验，逐步积累有关培养学生数学能力、发展智力的经验。才能适应现代社会对数学教学的要求。