方程思想在平面几何计算中的应用

ABCD中，Ｅ为BC边上的一点，且AB=AE，求证：                          

（1）△ABC≌△EAD，         

（2）若AE平分∠DAB,

∠EAC=20°试求∠ACD的度数。

问题（1）略，问题（2）在整个成都市学生的得分率中是比较低的，由于平时有这些训练，所以我们班的学生在做此题时方法比较多，以下是他们的解法：

解法1：应用三角形的内角和定理和等边三角形知识来解。

∵AB=AE ∴∠B=∠BEA

∵△ABC≌△EAD ∴∠B=∠EAD  ∴△BEA是等边△

∴∠BAE=60°  ∴∠BAC=60°+20°=80°

∵ ABCD   ∴AB∥CD  ∴∠BAC=∠ACD

∴∠ACD=80°

解法2：应用几何知识中两直线平行同旁内角互补入手加以解决。

∵AB=AE ∴∠B=∠BEA

∵ ABCD  ∴BC∥AD  ∴∠BEA=∠EAD

∵ AE平分∠DAB   ∴∠BAE=∠EAD  

∴∠B=∠BAE=∠EAD

∵ ∠B+∠BAE+∠EAD=180°∴∠B=∠BAE=60°

∴∠BAC=60°+20°=80°

    ∵AB∥CD   ∴∠BAC=∠ACD=80°

解法3：此方法结合解法1和解法2的思路把几何题转化成代数方程来处理的。

∵ ABCD   ∴AB∥CD  ∴∠BAC=∠ACD 

∴∠BAC=∠BEA +20°

设∠B=x°∠BEA=y°依题意得：

                                  

     解方程得：        Y=60°

     ∴∠ACD=60°+20°=80°

解法4：抓住∠BAC=∠ACD这个等量关系式，列方程使问得到解决。

∵ ABCD  ∴∠B=∠D  ∴AB∥CD

∴∠BAC=∠ACD

∵AB=AE ∴∠B=∠BEA：

∵ AE平分∠DAB   ∴∠BAE=∠EAD

设∠BAE=∠EAD=x°则∠CAD= x°-20°

在△ABE中∠B=∠D= （180°-x°）

在△ACD中：

∠ACD=180°-﹝ （180°-x°）+ x°-20°﹞

=110°- x°

而∠BAC= x°+20°

∴x°+20°=110°- x°解得 x=60°

∴∠ACD=∠BAC= x°+20°=60°+20°=80°

解法5：利用四边形内角和等于360°，得方程使问得到解决。

∵ ABCD  ∴∠B=∠D  ∠BAD=∠BCD

∵AB=AE ∴∠B=∠BEA：

∵

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