四化 让课堂妙趣横生 初中数学获奖论文

2.2 合作探究中解决问题、整理知识
开放性问题既展示了数学问题的形成过程，又反映了问题研究的实际状态，其核心是激发独立思考的创新意识，发展观察、推理、探索和创造能力。教材中有许多问题可以改编成开放性的例题，如：
【例1】如图，圆形街心公园有三个出口A、B、C，每两个出口之间有一条长为60米的道路组成△ABC，为使在中心点O处的亭子与原有道路相通，需修三条小路OD、OE、OF，使D、E、F分别落在△ABC的三边上（D、E、F可以在△ABC的顶点上），且这三条小路把△ABC分成三个全等的多边形，以便种植不同的花草。
①请按要求至少画出两种不同的方案，并附简单说明；
②为了使三条小路的总长最短，请画出设计方案；
③若要使三条小路把△ABC分成三个全等的等腰梯形，画出方案图并计算三条小路的总长；
④请总结：已知D的位置，如何准确地找到E、F的位置。
通过上述问题的解决，发展了发散思维和辐合思维， 培养思维的灵活性和创造性，并在求解的过程中体验成功的喜悦，从而在情感上接纳数学这门学科。
【例2】如图，A、Ｂ两点位于一个池塘的两端，如何利用测角仪和皮尺测量Ａ、Ｂ 间的距离（皮尺长小于ＡＢ  ），请设计测量方案，画出示意图并说明理由。
学生从三角形全等、三角形相似、解直角三角形和勾股定理、三角形中位线、特殊三角形、特殊四边形等方面进行了有益的探索，设计了丰富多彩的测量方案（图8），由此可见，学生的潜力是无穷的。
 
利用开放性、探索型问题的研究，引导学生以不同的观点从不同的角度来分析和思考同一问题，既锻炼了学生的思维，又使学生增加了成功的体验。通过总结得出寻找或建立等量关系、比例关系是解决问题的主要方法，引导学生从更深刻的层、次更广阔的角度对问题进行再认识、再提高，这对提高课堂效率是大有益处的。
还可以让学生对已学的知识进行探索性的对比、归类和整理，从而丰富、发展并建构数学知识树，这对巩固所学知识极有帮助。如在学习线段、射线、直线的有关概念后，可让学生探究线段、射线、直线有什么区别和联系；又如在学习二次函数的图像和性质后，让学生探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的相关性等，通过这些探究活动让学生体验数学学习的乐趣。
3 训练变式化：涉笔成趣
数学学习，特别是数学解题经常被误解为机械的数与数之间的换算。而实际上，数学的习题训练同样可以声色并茂。
3.1 变式训练中总结规律、认识本质
数学中的公式往往呈现一种“冰冷”的美，它是一种思维形式化的产物。如平方差公式（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2，虽然其推导过程比较简单（多项式乘以多项式或两个正方形面积之差等），但其中的“a”与“b”既可以是数，也可以是字母，还可以是式子，这是让许多学生感觉最“冰冷”的“美”。为了让学生真正理解并感觉到真正的美，为此可设计一组辨析题，以此来认识他们的“a”与“b”多重表现。
    【例3】下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式并计算出结果：
(1)(2a﹣3b)•(3b﹣2a)
(2)(﹣2a＋3b)•(﹣2a﹣3b)
(3)(﹣2a﹣3b)•(2a﹣3b)
(4)(2a＋3b)•(﹣2a﹣3b)
(5)(a＋b＋c)•(c﹣a﹣b)
(6)(﹣a﹣b＋c)•(a＋b﹣c)
公式学习是初中数学学习的重要内容。在公式教学中，教师必需树立将公式教学作为发展学生思维、培养能力的载体的观念，在注重它的形成过程的同时，应引导学生深刻领悟公式的本质特征，努力培养学生的思维品质和运用公式的能力。
变式训练在问题解决中有势如破竹的效果，因为一项问题的解决既增强了学生解决问题的信心和乐趣，同时又为新问题的解决提供了知识上的支持。因此，有些规律也可以通过变式训练来发现，学习了“全等三角形的判定方法”后可让学生证明如下一组命题：
⑴两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等。
⑵两边和其中一边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等。
⑶两边和其中一边上的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等。
⑷两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等。
⑸两边和第三边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等。
⑹两边和第三边上的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等。
⑺将上述命题中的锐角三角形变为“三角形”，命题是否成立？为什么？
在考虑学生的年龄特征和已有知识水平的基础上，通过变式训练充分展示数学知识的探索和发现过程，从而产生更强大、更持久的兴趣动力。
3.2 变式训练中发展思维
数学又被戏称为“思维的体操”，因此在变式训练应注重揭示数学思维活动的全过程，避免学生的机械模仿，从而拓宽解题思路，提高思维能力和解题的应变能力。（前文描述中提及的思维的发散性和辐合性在此不再重复，思维的深刻性将在第四部分阐述）正如数学来自于生活而又应用与生活，思维是具有可逆性的，正向思维与逆向思维的转换训练有利于提高学生思维的变通性和敏捷性。数学中有许多可逆性的问题，如可逆运算（表1），正命题和逆命题等。
表1 数学中的可逆运算
运算公式 正向 逆向
a（b＋c）=ab＋ac 多项式去括号 合并同类项分解因式
a •b =ab
ab  =a b 
二次根式的乘法运算 二次根式的化简
a2﹣b2=(a﹣b)(a＋b) 分解因式 多项式乘法计算
又如，通过下列正逆命题的猜想并证明，认识各种平行四边形之间的相互关系：
①顺次连结（平行四边形）各边中点所得的四边形是（平行四边形）。
②顺次连结（矩形）各边中点所得的四边形是（菱形）；
③顺次连结（菱形）各边中点所得的四边形是（矩形）；
④顺次连结（正方形）各边中点所得的四边形是（正方形）；
适当进行正逆向思维的转换训练，能够培养学生科学、辩证地运用数学思维的能力，避免定势负迁移作用的发生。为了发展学生的思维，应鼓励学生大胆猜想的同时，也让学生学会联想把一个未知的问题转化到已知的问题，寻找一个我们熟悉的相似问题或者找到与题目接近的原理、方法，变通运用这些知识，从而使问题获解的过程。学生们通过联想—转化—解决的学习过程，既培养了创新思维，又深刻地体验到数学之美、成功之乐。
4 总结思想化：闲情逸趣
多数学生进入社会后，几乎没有机会应用他们在学校学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生毕业后不到一两年就忘掉了。然而不管人们从事什么工作，那种铭刻于大脑的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用。
经常性地对所学的知识进行比较与分类可以使知系统化，演绎与归纳使逻辑严密，利用数形结合思想解题能使问题变得更加形象、直观、简洁……让学生学会从已有的知识入手，采用由此及彼、化生为熟、化繁为简、化整为零、化部分为整体的思维方法。例如：让学生观察图形（图9）推导各图形面积之间的关系，此间运用观察、分析、抽象和概括等方法以及数形结合的思想学习完全平方公式。采用这类方式和方法，对学生的数学学习的帮助是极大的，对学生数学思维的发展也大有裨益的。

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