追求数学课堂中预设与生成的和谐教学 一堂公开课的教后感悟

【前言】
虽然从教十六年每年都要开公开课，但是2010年4月7日的这堂公开课对笔者来说是一节记忆犹新的课,这是一节《勾股定理的应用——探究最短路径问题》，这节课不完全拘泥于人教版的教材，重在学生的活动探究，当时获得了众多听课教师的好评。尤其珍贵的是，给学生上这节课，所经历的设计与教学过程，给笔者留下一份难得的财富。以下是笔者对这一过程的所思所悟，与同行交流。
【情景描述】
这节课按我的预先设计勾股定理的应用，重在探究最短路径问题。教学流程是：（1）探究乐园（引入）（2）例题精析(包括：台阶中的最值问题；圆柱（锥）中的最值问题；正方体中的最值问题；长方体中的最值问题等五个例题)（3）课堂练习（4）课外探索
其中长方体中的最值探究问题一道例题为：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长分别为长4，宽2，高1），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
 
考虑到对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课前我先安排同学们自制了一个长方体的模型，同时在课堂上让学生合作学习把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过小组讨论来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。．让学生在“先想一想，再折一折”的活动过程中，体会“展开与折叠”的对应转化，积累经验，建立自己的空间观念.
课堂上学生A给出了两中展开图的画法
          
                 
教师：除了这两种方法外，还有另外方法吗？我开始引导学生，除了这两种展开图还有没有别的展开图呢？经这一点拨，学生的思维马上活跃起来。
学生B补充说：“老师，我还有一种呢，”接着他又给出了另一种展开图。
 
然后陆陆续续的学生通过小组探讨得出本例题的爬行路线总共有六种，其中对应的路径长度有三种，分别如下：
(1)A在前侧面
      
            
(2)A在左侧面
         
         

(3)A在底面
 
          
我原先预设的目的就是利用学生通过小组合作动手操作进一步理解长方体的展开图，从数学过程、数学操作、数学交流、数学空间等方面强化逻辑思维；通过此例的热烈探讨，可以说达到了教学目的。当我准备讲解下个例题时，没有想到突然有一位学生C举手。是让学生说呢，还是不管他按计划讲下面一道题呢？下面坐着这么多的听课老师，又是学校的一堂公开课。正当我犹豫不决时，教学感觉提醒我，“课堂要以学生为本，以学生为主体”，我示意让学生C讲。
学生C说：“其实对于长方体的最短路径问题，对应的路径长度有三种，可以用公式来表示：
设长方体的长，宽，高分别是a,b,c,那么它对应的三种路径长分别是：
 ,    ,   ,
因为这三种路径对应的图形是长方形，他们的长和宽分别是（a+b）,c;或（a+c）,b;或(b+c),a.利用勾股定理便可得出以上结论。”
整个说理过程没有一点错误，但是通过C同学将长方体中的最短路径问题总结的非常简洁，这也超出了我的预料，课堂中的生成真的是难以预料呀。我说：“C同学真不简单，及时肯定了他的结论。”他的脸上也洋溢出了成功的喜悦。
学生D说：“既然有了公式，有没有更简单的方法，不用一一画出长方体的展开图就能判断哪条路径最短呢？”
教师：这两位同学的想法都挺好的，我们应该学习他们的求新精神。
趁学生的兴趣正浓时，我预感到利用上述结论对于探究最短路径还有更简洁的方法，于是我接着说：我们能否利用刚才C同学的结论来探究最短路径呢？考虑到问题相对复杂，我先让学生自主探索，再进行合作交流，同时开展小组之间竞争。小组成员共同努力，相互合作，教师则观察各组的活动，对小组所遇到的困惑及时引导、鼓励，对差一点的小组直接参与合作，整体把握各组的进展情况。交流的气氛是积极的，不久学生得出了结论，只要看长，宽，高三个长度中，哪两个长度之和的平方与第三数的平方的和最小，即对应的路径就是最短的。
下课以后，学生们意犹未尽，有一个学生跟我说他可以将C同学的结论进一步的延伸。即：设长方体的长，宽，高分别是a,b,c,那么它对应的三种路径长分别是：  ,     ,  ,这样只要比较长a，宽b，高c中ab，bc，ac的大小即可判断哪条路径最短了！
【教后反思】
纵观整节课，虽然我没有完成事先预定的教学计划（最后的课外拓展题没有完成），但是我和我的学生在这节课上都有较大的收获。学生从中学习了提出问题、探究问题和解决问题的一些方法。通过本节课的教学我有下面几点感悟：
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