例谈极限思想在初中数学教学的渗透 初中数学获奖论文.doc

实验学校  肖 亮 

1问题的引出

在上完人教版九下锐角三角函数后，班上有几个爱动脑筋的学生拿着计算器跑到我的办公室告诉我一个惊人的发现，“老师请看计算1900sin 保留5位小数的结果”，“3.14159”我说这与圆周率保留5位小数一样。学生接着说：“老师，你真是太厉害了。”我却为学生的肯钻研精神感到高兴，“老师，还没完呢，请再看我们把1900改成900试试，结果还是一样的答案。”然后他们抛给我一个问题“能否帮我们解释一下其中的奥秘？”我觉得这个问题很有趣于是答应学生我去整理一下然后讲给他们听。我带领学生从以下几个问题出发和学生一起探讨：

问题1：求半径为 的正五边形的周长。

问题2：求半径为 的正八边形、正九边形、正十边形、正十二边形的周长。

问题3：求半径为 的正n边形的周长。

问题4：求半径为 的正三十边形、正六十边形、正九十边形、正一百八十边形的周长。

通过计算，学生发现半径为 的正多边形都是半径为 的圆的内接正多边形，当n增大时，多边形的边会不断靠近圆周。那么正多边形的周长当然也就无限地接近于圆的周长了，而半径为 的圆的周长c＝2 r=2 = ，所以当n不断增大时，nsin 的值在无限地接近圆周率 的值。到此之前的那几位同学终于明白他们开始计算的1900sin 会近似地等于圆周率了。紧接着我又引导学生阅读人教版九上第108页《阅读与思考》通过这个阅读学生感知我国数学的辉煌成就及通过现代计算机的应用可以将圆周率 的近似值更精确。

从这一案例中给我一个启发，我们初中数学的教学中应该进行极限思想的渗透。

2初中数学极限渗透的发展性分析

新课改数学界，非常重视极限思想方法在教学中的渗透.然而实际教学中，初中教师对极限思想方法的理解及应用还存在着偏颇，偏重“知识与技能”，忽视极限思想方法的渗透，表现出一种只顾眼前，不考虑学生长远发展.但作为初中教师我们不能无视极限思想方法的重要性，应该着眼于学生的长远发展及终身利益，将极限的思想方法进行必要的适度渗透，贯穿于数学教学的始终。

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，这种思想也必将为我们的初中数学教育发挥重要的作用.因此，教师要积极利用和开发课程资源，在平日教学中积极挖掘体现极限思想的知识点、典型素材，尤其是教科书和实际生活中的优质资源，将极限思想很好地渗透于初中学数学教学之中.如教科书资源：浙江教育出版社《数学作业本》八下《分式》中有这么一道题目上：

（1）计算并填表：

(2)观察上表，描述所求得的这一列数的变化规律；

（3）当X非常大时，  的值接近于什么数？

其实在初中数学里还有很多可用的材料如：八年级上册《实数》中提到分数化循环小数这一部分内容中， …是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，八年级下册阅读与思考《容器中的水能倒完吗？》、无理数的逼近取值、求一元二次方程的近似根、求有规律数字的和等，通过这些方面可让学生初步体会“无限”思想，体会无穷无尽的概念.在初中数学几何方面，也有许多地方都接触到了有关“无限”的概念.如直线 、射线、角的边、平行线、反比例函数的图象、圆内接正多边形、还有一个正方形的无限分割求 等等它们都是可以无限延伸的.这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不到一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果.而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力.因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的.是从不同方面体现了“无限”的观念，并不是真正意义上的“极限”，然而，培养学生的无限观念是形成极限思想的基础，离开无限谈极限是没有任何意义的.所以，不应该因为“无限≠极限”而忽视对无限性的教学。

初中所学内容起到拓展延伸同时又对高中内容进行很好地衔接.极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念.当今初中数学教学，非常重视数学思想方法在教学中的渗透，却无独有偶忽略了极限数学思想的渗透，其实极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础、为数学的发展提供了有力的思想武器，然而由于这部分内容主要放在高中进行教学，初中阶段接触的题目少之又少再加上中考不考，所以在初中数学的实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着一定的忽视，但作为教师我们不能无视极限思想方法的重要性，还应该着眼于学生的长远发展及终身发展。

3中考题中极限思想的应用

题目1（2008年杭州）如图，记抛物线y=-x²+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P₁，P₂，…P_n-1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q₁，Q₂，…，Q_n-1，再记直角三角形OP₁Q₁，P₁P₂Q₂，…，P_n-2P_n-1Q_n-1的面积分别为S₁，S₂，…，这样就有S₁= ，S₂= ，…；记W=S₁+S₂+…+S_n-1，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（　　）

 A.      B.      C.       D.  

解：从已知可得当n越来越大,直至无穷大时，阴影部分面积W无限接近抛物线与坐标轴所围成图形面积的一半；再考虑这个抛物线与坐标轴围成图形的面积应该介于直角边为1的等腰直角三角形的面积与半径为1的圆面积的 之间,也就是说  <2W< ，即  < W< ,故选(C)。大多学生反应对这道题目看不懂,这表明他们在自己的认知结构中无法找到相应的知识、技能方法去指导解题.笔者觉得平时数学教学中应当重视对学生的极限思想的认识与培养,这也许可以大大减少“看不懂”的情形。

题目2(2011 浙江湖州)如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

(1)  求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

(2)  当△APD是等腰三角形时，求m的值；

……………………………【全文请点击下载word压缩文档】
点击下载此文件