双图相融 精彩纷呈 初中数学获奖论文.doc

市第三中学   张文辉  

一次函数与反比例函数是初中数学中非常重要的两种函数，研究它们的图象和性质对拓展学生的思维空间，提高他们的分析能力都非常有用。本文就直线与双曲线“相融”的角度研究和探索隐藏在里面的一些性质。

一、双图演示 “变”与“不变”

1.过第一象限的一条直线AB，分别交x轴、y轴正半轴于点A、点B，(如图1)

现在我们把图1、图2合在一起，如图3。          

点P为线段AB的中点，双曲线y=（x＞0），经过点P，由上面

两个函数的研究可知：当P在线段AB上运动时，矩形CODP的面积要

变化，但无论点P怎样运动，矩形CODP的面积都小于或等于点P在

AB中点时的面积。而点P如果在双曲线上运动，则无论点P怎样运

动，矩形CODP的面积都不会改变，这能说明什么呢？

这恰恰说明线段AB与双曲线只有一个交点。因此我们得到： 

性质1：当直线AB与双曲线相切于点P时，点P一定是线段AB的中点。反之也成立所以方程组只有一个解。即直线AB与双曲线只有一个交点。又因为直线AB与x轴、y轴都相交，故直线AB与双曲线 y=（k＞0，x＞0） 相切。

如图5，当双曲线经过直线AB上非中点P1时，则双曲线必

与直线AB交于另一点P2，由运动规律知：当点P从中点分别运动

到P1、P2时，矩形CODP的面积从最大值减少到相等的值。而从

S=-x2+bx的图象的对称性可以猜想：要使矩形C1OD1P1与矩形

C2OD2P2的面积相等，P移动的路程应该是相等的。即PP1=PP2，

从而可进一步猜想：AP1=BP2。

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