反射三角形探究——由一道九年级数学期末抽测题所想 初中数学获奖论文.doc

实验学校    朱军辉    陈贞辉

[摘要]　在试题分析时，如何让学生了解试题命题者的意图、试题的导向功能，对我们进行数学教学特别是九年级的数学复习至关重要．如果试题分析仅仅关注学生的解答结果，就不能很好地让学生领会试题所蕴含的思想方法和思维含量，也就没能很好地唤醒学生的知识内容，也就不能体现学生在解题过程中的个性张扬．所以在试题分析和复习教学中，应让学生通过自己的思考理解知识之间的相互联系，构建知识网络．

[关键词]　 反射三角形　　　探究　　　思考 

有效的试题分析对于提高学生的答题能力、答题技巧、明晰答题思路有着重要的作用，对于学生了解命题者的意图和试题的背景是提高学习效率、复习效率的一种有效途径，也是让学生如何运用基本知识、基本技能、基本思想方法及基本活动经验解决问题的重要途径；同时通过试题分析，使学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到可持续发展．如果我们平时的试题分析就题论题，仅仅关注学生的解答是否正确，就不能很好地让学生体会试题所蕴含的思想方法和思维方法、结论的得出、方法的归纳、思维的提炼，就没能充分有效地唤醒学生已有的知识，就失去了试题的测试功能，学生也就失去了在数学学习过程中发展能力、体现个性的机会．

笔者现就我市2012学年第一学期期末质量抽测九年级数学卷的第21题，谈谈对本题的再探究．

1　试题再现

如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、CA上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，则称△DEF为△ABC的反射三角形．

（1）如图1，等边三角形ABC的三边的中点分别是D、E、F，请判断△DEF是不是△ABC的反射三角形；

答：　　　　　（直接填写“是”或“不是”）

（2）如图2，点A、B、C分别在△DEF的三边上，I是△DEF内一点，

且IA⊥DF，IB⊥DE，IC⊥EF，依次连结A，B，C三点，若⊙I是△ABC的内切圆．

求证：△ABC是△DEF的反射三角形；

（3）判断下列三个命题是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）

命题1：锐角三角形有反射三角形　（　　　　）

命题2：锐角三角形的反射三角形是锐角三角形　（　　　　）

命题3：钝角三角形没有反射三角形　（　　　　）

2　试题探究

2．1　命题意图的探究

2．1．1　考查试题类型探究　

从最近几年的台州市中考数学试题以及全国各地的中考数学试题看，出现了很多的新概念型（新学习型）的题目．所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中的概念是初中数学中学生没有学过的一些概念、新运算、新符号．它要求同学通过自主阅读、自主操作等方式进行即时地学习，然后结合已有知识、能力进行理解，根据“新概念”进行运算、推理、迁移的一种题型．总之，这些题目对数学感知、数学表征、数学抽象概括、数学推理计算等数学认知水平进行了全面的考查．例如台州市数学中考中2009年的第23题、2010年的第22题、2011年的15、23两题、2012年的16、24两题（见附题）

2．1．2　考查知识内容探究

本题主要考查的知识内容有三角形的内角和定理、角平分线的意义、三角形内心的性质、垂线的性质、三角形中位线的性质等．此题属于稍难题（难度系数0.8~0.5）．

2．1．3　考查基本图形探究

基本图形采用人教版九年级上册数学作业本2第25页【直线与圆的位置关系（三）】的第2题；

2．1．4　考查数学方法探究

转化方法、类比猜想等

2．2　试题解答的探究

由反射三角形的定义可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，又∵∠1＋∠3＋∠A＝180°,∠2＋∠5＋∠C＝180°，∠4＋∠6＋∠B＝180°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而有∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°，∠1＋∠3＋∠5＝180°，所以∠A＝∠5＝∠6，类似地我们有：∠1＝∠2＝∠B，∠3＝∠4＝∠C，故有，同理有，．因此为了很好地解决第（3）小题的三个判断题，我们在试题分析时可先增设如下几个小题，第一：求证，类似地你可得出另外两个等式吗？第二：你能否证明△DEF是锐角三角形．从而突破了第（3）小题的难点，所以我们在试题分析时，应根据实际问题设计问题引导，铺设思维台阶，引导学生有效思考．

2．3　试题拓展的探究

2．3．1　反射三角形的形状探究

根据前面的分析有， ，

，如图3

∵0°＜∠DEF＜180°，0°＜∠DFE＜180°，0°＜∠EDF＜180°

∴0°＜∠A＜90°，0°＜∠A＜90°，0°＜∠A＜90°

∴△ABC是锐角三角形，即只有锐角三角形才有反射三角形，直角三角形与钝角三角形都没有反射三角形．同时有如下一些的结论：

当锐角△ABC是等腰三角形时，反射△DEF是等腰三角形；

当锐角△ABC中有一个角等于45°时，反射△DEF是直角三角形．

当锐角△ABC中每一个角都大于45°且小于90°时，反射△DEF是锐角三角形．

当锐角△ABC中有一个角小于45°时，反射△DEF是钝角三角形．

2．3．2　反射三角形的画法探究

画法探究一：为了让学生能探究出锐角三角形的反射三角形的画法，结合图3教师可铺设如下几个问题进行探究：第一，求证：△ADF∽△ACB．第二，已知锐角△ABC中，已知AB＝4，BC＝6，AC＝5，你能求出线段AF的长吗？

事实上，在图3中，根据试题解答的探究过程得出∠1＝∠B，∠A＝∠A

∴△ADF∽△ACB，　　∴，　∴AD·AB＝AF·AC…………①

同理有BD·BA＝BE·BC…………②，CE·CB＝CF·CA…………③

由①＋②得AB2＝AF·AC＋BE·BC………④，

由③得CB2－BE·BC＝AC2－AF·AC

∴AC2－CB2＝AF·AC－BE·BC………⑤

④＋⑤得AB2＋AC2－CB2＝2AF·AC，然后将AB＝4，BC＝6，AC＝5代入即得AF＝0.5．这仅说明点F是AC边上的一个定点，那么点F是怎样的一个特殊点呢？我们可由余弦定理得AB2＋AC2－CB2＝2AB·AC·cosA，从而AF ＝AB·cosA，联想锐角三角函数的定义，学生会想到过点B作BG⊥AC于G，则AG＝AB·cosA，从而可得点F与点G重合，进而可得反射三角形的三个顶点D、E、F应是锐角三角形的三条高的三个垂足，这样我们就得到了一个锐角三角形的反射三角形的画法．以上是我们教师探究时的思维过程，但由于探究过程中涉及到余弦定理，不属于初中数学学习范围，那么有没有知识不超纲且能证明点D、E、F是锐角三角形三条高的三个垂足的方法呢？

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