初探如何在教学中引入“变换主元法” 中学数学教学优秀论文.doc

第六高级中学   田东华

【摘要】本文从对一元一次方程求解的理解入手，转变思考问题的角度，初次探究在中学数学教学中如何引入和运用变换主元法来理解直线系方程和圆系方程过定点问题，并用变换主元法解限定参变量范围的题.

【关键词】一元一次方程；二元二次方程; 实数集；主元；辅元；定点; 直线系方程; 圆系方程 

所谓主元法，就是在解题中，往往会遇到有两个或者两个以上的变量（或者叫未知数），在其中选取一个变量作为主元进行研究讨论，其余的视为辅元（或者称常数或称参数等）.一般的都会把方程或者不等式中的或视为主元.变换主元法就是把己经默认了的主元换到辅元的位置，原来的某个辅元作为主元研究讨论，这种方法称之为变换主元法. 作为教师，己有了大学水平或者更高的水平，理解起来较容易. 但作为高中的学生，把原来头脑中固有的主元进行转换，说是容易，做起来难. 他们在平时的学习中，如何能接受这个转变呢？那么在课堂上，教师该如何引入变换主元法？不妨作以下尝试.

1 对一元一次方程求解的再理解

一元一次方程的解有三种情形：

⑴当时，该方程有惟一解,解集为：；

⑵当时，该方程的解集为全体实数集；

⑶当时，该方程无解，也就是解集为空集.

对于⑴，就是简单的解方程;对于⑵，就是对任意的实数，都满足方程(绝对方程);对于⑶，方程(矛盾方程)，无解，也就是找不到一个数满足该方程.

2 变换主元法的运用

2.1 对直线系方程理解

可对高中数学人教版必修2书中的一道练习题的理解上引入变换主元法思想，在必修2书中第109页习题3.3  A组第4题：己知直线与直线相交，证明方程：

表示过和交点的直线.证明过程略.可以这样引导理解：若把以“”为主元的直线方程换个角度来看，以“”作为主元，“”为辅元，这样就把二元一次方程看成关于的一元一次方程，即                 

其中关于的解集为实数集.由上述对一元一次方程求解⑵的理解，可知，则需有

不妨设该方程组的解： 以该方程组的解为坐标的点记为.反之，点的坐标也满足以“”为主元的二元一次方程

即，也就是，对任意的实数都成立. 所以无论取何值，直线过一定点（和交点）的直线系方程.通过变换主元，把二元一次方程看成一元一次方程，有助于对直线系方程过定点的理解.同时也可以引入参数构造过两直线交点的直线系方程,再利用直线系方程解题，如解必修2书中109页第5题等. 通过以下例题也可加强对变换主元的理解.

例如，求证：直线(是参数且)过一定点，并求出定点坐标.证明略.如何求定点的坐标呢？若把以“”为主元的二元一次方程(是参数且)看成以“”为主元的一元一次方程:，其中,该方程关于的解集为全体实数集.由上述对一元一次方程求解⑵的理解可知，则需有

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