变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索
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增大字体近几年高考数学新题型中，有一类试题是通过变换问题的背景而得到的，背景的变换有三种形式：一是在传统的问题中，创设新背景；二是在传统的背景下，提出新问题；三是在新的背景中，提出新问题。变换背景而得到的试题新颖、别致，突出考察了学生的综合素质和创新能力，是高考命题由“知识立意”向“能力立意”转化的产物。为了使考生适应这种新题型，本文将分类进行解析，以供大家在复习备考中参考.
一、在传统的问题中，创设新背景
§1.1静态问题，创设动态背景
【例1】（′04·浙江）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为（）
A．（－12，32）B．（－32，12）
C．（－12，－32）D．（－32，-12）
解析：本题创设了“点沿单位圆运动”这一动态背景，去求圆上点的坐标。由Q点落在θ=23π的角终边上，得Q（cos23π，sin23π），即为Q（－12，32），故选A．
【例2】（′03·北京春）如图1，在正三角形ABC中，图1D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．0°
解析：求“三棱锥侧面上两条异面直线所的角”是一个静态问题，这里通过“展平与翻折”这一互动过程，图2更有效地考察了学生的空间想象能力。比照翻折前后的图形(如图2)，容易得到∠ADF为GH与IJ所成的角，而∠ADF=60°，故选B.
§1.2平面问题，创设空间背景
【例3】（′04·天津）如图3，图3定点A和B都在平面α内，定点Pα，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是（）
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点
D．半圆，但要去掉两个点
解析：本题是在空间背景中研究平面轨迹问题。由题易知BC⊥AC恒成立，得∠ACB始终为直角，则C点在以AB为直径的圆上，去掉A、B两点，故选B.
【例4】（′04·北京）如图4，图4在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）
A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线
解析：本题以正方体为背景考查圆锥曲线的定义。易知P到C1的距离等于P到直线BC的距离，故P点的轨迹为抛物线，选D.
§1.3以社会热点问题为数学试题背景
【例5】（′04·北京春·文)2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，图5于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图5所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R=6371km.
（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行约6×105km.问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？（结果精确到1km/s）
解析：试题以“神州”五号载人飞船成功升空和返地这一重大事件为背景，考察椭圆的基本知识和分析问题与解决问题的能力，题型新颖，时代感强.
(1)由题设条件可求得为x244169316+y244163691=1.(或者x266462+y26645.62=1也是正确的.)
(2)易得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950(秒)，平均速度是60000074950≈8(千米/秒).所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s.
【例6】(′02·新课程)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十五”期间(2001年－2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为()
A.115000亿元B.120000亿元
C.127000亿元D.135000亿元
解析：本题是以《政府工作报告》为背景的试题，主要考查将实际问题转化为数学问题的能力和近似计算(估算)能力．选C．
§1.4以其它学科知识为数学试题背景
【例7】(′00·京、皖春)从单词”equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有()
A.120个B.480个C.720个D.840个
解析：本题以英语单词为试题背景，主要考查排列、组合的基本知识和方法。C36A44=480.∴选B.
【例8】(′04·浙江)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有种.(用数字作答)
解析：本题以质点运动为试题背景，主要考查排列组合知识和转化思想。记向左跳一次为－1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在(3，0)，所以只须四个“+1”，一个“－1”即可，从5次中选一次取“－1”，结果为C15=5，故填5.
§1.5常规问题，创设非常规背景
【例9】(′03·新课程)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图6)，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种(用数字作答).
图6解析：本题主要考查排列的知识.但题中背景是非常规的，即圆环排列的问题。解决的基本思路是把圆环排列的问题转化为直线排列的问题.共有4(15+15)=120种方法.
【例10】(′02·北京)如图7，图7在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.
(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小;
(2)(理科做)证明:EF//面ABCD;
(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算，已知它的体积公式是V=h6(S上底面+4S中截面+S下底面)，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.(注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.)
图8解析：本题是一道研究线面位置关系和计算的立体几何问题，试题给出的却是一个非常规几何体，主要考察考生的空间想象能力和转化思想，试题立意新颖，有较高的区分度。所求二面角的大小为arctan2hb－d;V估＜V.
二、在传统背景中，提出新问题
§2.1在熟悉的图形中，提出新问题
【例11】(′04·重庆)若三棱锥A－BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（）
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