变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索

ABCD解析：三棱锥是最简单的几何体，也是考生最熟悉的背景，而提出的问题是全新的。如图9，在面ABC作射线BP，在底面BCD的射影为BE，图9并且使∠PBF=∠PBE，则PF=PE，也就是说，PB上任意一点到底面BCD的距离等于到棱AB的距离，注意∠ABP=∠PBE＜∠PBC，即BP应在∠ABC角平分线上侧，故选D.
【例12】(′04上海·春)如图10，根据下列5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第n个图中有个点.
图10解析：本题给出的五种图形简单明了，但提出的问题具有探索性。通过对图形的观察可以找到如下规律:第1个图有1个点即a1=1，第2个图从中心点出发有2个分支，每个分支1个点即a2=1+1×2=3，第3个图从中心点出发有3个分支，每个分支2个点即a3=1+2×3=7，第4个图从中心点出发有4个分支，每个分支3个点即a4=1+3×4=13，第5个图从中心点出发有5个分支，每个分支4个点即a5=1+4×5=21，则可以按此规律猜测出第n个图从中心点出发有n个分支，每个分支n－1个点，即an=1+(n－1)n=n2－n+1.
§2.2在熟悉的题型中，提出新问题
【例13】(′02·河南、江苏)如图11，四棱锥P－ABCD图11的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
(1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
(2)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°.
解析：本题以《立体几何》课本复习参考题“棱锥的底面是正方形，有相邻两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成45°角，最长的侧棱长为15cm，求这个棱锥的高”为背景变形拓广而设计的，通过题中某个元素的变动，导出某个“恒定”的结论，创设出一个新的问题，颇具创意.
(1)V锥=133a·a2=33a3.
(2)略.
【例14】(′04·广东)如图12，某中心接到其正东、图12正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s;相关各点均在同一平面上)
解析：本题的背景是高中数学课本第八章第二节例3，这里提出的问题较之例3更具体，更实际，主要考察直线、双曲线等知识和实践能力.问题转化为双曲线x26802－y25×3402=1与直线y=－x交点问题，求得P(－6805，6805).故PO=68010m.
答:巨响发生在接报中心的西偏北45°，距中心68010m处.
§2.3在熟悉的方法中，提出新问题
【例15】（′03·上海春）设f(x)=12x+2.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)+f(－4)+…+f(0)+…0+f(5)+f(6)的值为.
解析：本题是以“倒序相加求和法”为背景的试题.
因为f(x)=12x+2，∴f(x)+f(1－x)=22所求和为S，则2S=［f(6)+f(－5)］+［f(5)+f(－4)］+…+［f(－5)+f(6)］=62.
∴S=32.
【例16】（′01·上海）已知两个圆：x2+y2=1①与x2+（y－3）2=1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为:.
解析：设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2①，(x－c)2+(y－d)2=r2②，(a≠c或b≠d)，则由①－②，得两圆的对称轴方程为:(x－a)2－(x－c)2+(y－b)2－(y－d)2=0，即2(c－a)x+2(d－b)y+a2+b2－c2－d2=0.
§2.4在熟悉的结论中，提出新问题
【例17】（′04·广东）由图13有面积关系:S△PA′B′S△PAB=PA′·PB′PA·PB，则由图14有体积关系:VP－A′B′C′VP－ABC=.
图13图14解析：类比推广前一结论可得VP－A′B′C′VP－ABC=PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.
【例18】(′02·上海)规定Cmx=x(x－1)…(x－m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C1x=1，这是组合数Cmn(m，n是正整数，且m≤n)的一种推广.
(1)求C5－15的值;
(2)组合数的两个性质:
①Cmn=Cn－mn;②Cmn+Cm－1n=Cmn+1.
是否都能推广到Cmn(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明;若不能，则说明理由;(3)已知组合数Cmn是正整数，证明:当x∈Z，m是正整数时，Cmx∈Z.
解析：本题是以组合数公式为背景，提出的新问题.
(1)C5－15=(－15)(－16)…(－19)5!=－C519=－11628.
(2)性质①不能推广.例如当x=2时，C12有定义，但C2－12无意义;性质②能推广，它的推广形式是Cmx+Cm－1x=Cmx+1，x∈R，m是正整数，事实上，当m=1时，有C1x+C0x=x+1=C1x+1；当m≥2时，Cmx+Cm－1x=x(x－1)…(x－m+1)m!+x(x－1)…(x－m+2)(m－1)!=x(x－1)…(x－m+2)(m－1)!(x－m+1m+1)=x(x－1)…(x－m+2)(x+1)m!=Cmx+1.
(3)当x≥m时，组合数Cmx∈Z，当0≤x＜m时，Cmx=0∈Z.当x＜0时，∵－x+m－1＞0，∴Cmx=x(x－1)…(x－m+1)m!=(－1)m(－x+m－1)…(－x+1)(－x)m!=(－1)mCm－x+m－1∈Z.
三、在新的背景中，提出新问题
§3.1在高数背景中，提出新问题
【例19】(′04·北京春)下表给出一个“等差数阵”:其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数.
47()()()…a1j…712()()()…a2j…()()()()()…a3j…()()()()()…a4j………………………ai1ai2ai3ai4ai5…aij………………………(1)写出a45的值;
(2)写出aij的计算公式;
(3)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
解析：本题是以高等代数中的矩阵知识为背景而设计的考题，既考察了等差数列、充要条件等基本知识，又考查了逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
(1)a45=49.
(2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列:a1j=4+3(j－1);第二行是首项为7，公差为5的等差数列:a2j=7+5(j－1);……第i行是首项为4+3(i－1)，公差为2i+1的等差数列，因此，aij=4+3(i－1)+(2i+1)(j－1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j.
【例20】(′01·北京)定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x1、x2∈D，都有f(x1+x22)≥12［f(x1)+f(x2)］，则称f(x)是D上的凸函数.
已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R，且a≠0).(1)求证:当a＜0时，函数f(x)在R上是凸函数;(2)如果x∈［0，1］时，|f(x)|≤1，试求a取值范围.

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