变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索

解析：本题是以高等数学中的凸函数为背景的试题.
(1)紧扣凸函数定义，问题转化为12a(x1－x2)2≤0是否成立.当a＜0时，此不等式成立故组成函数f(x)在R上是凸函数.
(2)－2≤a＜0.
§3.2在名题背景中，提出新问题
【例21】(′03·北京)如图15，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r)(b＞r＞0).
图15(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率;
(2)直线y=k1x交椭圆于两点C(x1，y1)，D(x2，y2)(y2＞0);直线y=k2x交椭圆于两点G(x3，y3)，H(x4，y4)(y4＞0).求证:k1x1x2x1+x2=k2x3x4x3+x4;
(3)对于(2)中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.求证:OP=OQ.(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)
解析：本题是以“蝴蝶定理”为背景的试题.
(1)如图16,椭圆方程为x2a2+(y－r)2b2=1.焦点坐标为F1(-a2－b2，r)，F2(a2－b2，r)，离心率e=a2－b2a.
图16(2)略.(3)略.
【例22】(′03·全国)设{aN}是集合{2t+2s|，0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，图17即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，….将数列{aN}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图17的三角形数表:
①写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;②求a100.
解析：本题可以看成是以“杨辉三角形”的形式为背景而设计的试题，既考察集合、数列等基本知识，又考察考生的探究能力.
①第四行：17182024
第五行：3334364048
②a100=214+28=16640.
§3.3在新定理的背景中，研究新问题
【例23】(′04·广东)设函数f(x)=x－ln(x+m)，其中常数m为整数.
(1)当m为何值时，f(x)≥0;
(2)定理:若函数g(x)在［a，b］上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a，b)，使g(x0)=0.
试用上述定理证明:当整数m＞1时，方程f(x)=0在［e－m－m，e2m－m］内有两个实根.
解析：(1)f(x)=x－ln(x+m)，x∈(－m，+∞)连续，且f′(x)=1－1x+m.令f′(x)=0，得x=1－m.根据函数极值判别方法，f(1－m)=1－m为极小值，故当整数m≤1时，f(x)≥1－m≥0.
(2)证明:由(1)可知，当整数m＞1时，f(1－m)=1－m＜0.函数f(x)=x－ln(x+m)在［e－m－m，1－m］上为连续减函数.f(e－m－m)=e－m＞0.f(e－m－m)与f(1－m)异号，由所给定理知，存在惟一的x1∈(e－m－m，1－m)，使f(x1)=0.同理f(1－m)与f(e2m－m)异号，存在惟一的x2∈(1－m，e2m－m)，使f(x2)=0.从而命题得证.
【例24】（′01·上海春）如图18，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.
图18(1)求证:A1C⊥平面AEF;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.
试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.(用反三角函数值表示)
解析：(1)略.
(2)如图19，过A作BD的垂图19线交CD于G.因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD.根据定理只需求AG与A1C所成的角为α，不难求出α=arccos12225.由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos12225.
§3.4在高科技背景中，提出新问题
【例25】(′00·上海)根据指令(r，θ)(r≥0，－180°＜θ＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：图20先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x.轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4，4);
(2)机器人在完成该指令后，发现在点(17，0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽视机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令.(结果精确到小数点后两位)
解析：(1)r=42，θ=45°，图21得指令为(42，45°).
(2)设机器人最快在点P(x，0)处截住小球，则依题意17－x=2(x－4)2+(0－4)2，即3x2+2x－161=0，得x=－233或x=7.
∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，∴x=7，故机器人最快可在点P(7，0)处截住小球，所给的指令为(5，－98.13°).
【例26】(′02·北京)在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题:用计算机求n个不同的数v1，v2，….vn的和∑ni=1vi=v1+v2+v3+…+vn.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存在一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示:
机器号初始时第一单位时间被读机号结果1v12v1+v22v21v2+v1机器号初始时第二单位时间被读机号结果1v12v2机器号初始时第三单位时间被读机号结果1v12v2(1)当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表.
机器号初始时第一单位时间被读机号结果1v12v23v34v4机器号初始时第二单位时间被读机号结果1v12v23v34v4机器号初始时第三单位时间被读机号结果1v12v23v34v4(2)当n=128时，要使所有机器都得到∑ni=1vi，至少需要多少个单位时间可完成计算？(结论不要求证明)
解析：(1)当n=4时，只有2个单位时间即可完成计算.方法之一如下:机器号初始时第一单位时间被读机号结果1v12v1+v22v21v2+v13v34v3+v44v43v1+v3机器号初始时第二单位时间被读机号结果1v13v1+v2+v3+v42v24v2+v1+v4+v33v31v3+v1+v4+v24v42v1+v3+v2+v4机器号初始时第三单位时间被读机号结果1v12v23v34v4(2)当n=128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算．在近几年高考新题型中，“变换背景出新题”是重要特征之一。本文通过对这一特征的归类分析，以期使大家对这类新题型的特点有一个全面的了解和掌握。为了使学生能够适应这些新题型，我们在平常的教学中就必须加强相关题型的变式训练，使学生认识到任何一道新题型都是由传统题型变换背景而得到的，这些新题型的解题方法都源于对基础知识和基本技能的灵活运用。通过适应性训练，使学生能够以静制动，以不变应万变，不断创新解题思路，积累解题经验，灵活应对各种高考新题型。

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