数学理解之面面观

    第四，数学理解的形成条件是自主活动。数学理解的形成必须要以学生的自主活动为基础，"活动是个人体验的源泉，是语言表征、情节表征、动作表征的源泉" 。活动既包含外部操作性活动，也包括内在思维性活动。在个体数学理解的形成过程中，借助于积极的智力参与，主动积极的外部活动过程逐步内化为主体内部的心理活动过程，并从中产生出主体的个人体验，一种基于个体自身的数学理解得以初步形成。
    三、数学理解的情境文化观
学习理论在90年代后期从强调个体思维者和其孤立心智的认知建构理论转向强调认知和意义的社会性本质，并进而转向情境理论，这一转向更加丰富了对数学理解的认识。而文化作为一种特殊的宏情境，既对学习者的数学理解产生潜在而深刻的影响，但同时也需要学习者通过真实实践中的活动和社会性互动来促进学习者的文化适应 。
    情境观的核心要点是 ："实践不是独立于学习的，而意义也不是与实践和情境脉络相分离的，意义正是在实践和情境脉络中加以协商的。"从这一意义上说，数学的概念、定理、法则的学习必须既是情境性的，又是通过学习者的真实活动和运用而得以不断发展的。这里的"情境"、"真实"或许由于数学知识的反复的、螺旋上升的抽象过程而并不显得那么直观、生活化，但这并不妨碍学习者在情境中通过理解和经验的不断相互作用，进行数学知识与概念的意义协商。也就是说，数学概念、法则的意义是依托于一定的情境的，在该特定情境中获得的数学概念、法则要比所谓的一般性数学概念、法则更有力、更有用、更具理解力，在这样的情境中所进行的数学活动与学习，除了了解了某些确定的数学规则外，更重要的是了解了使用这些数学规则的场合和条件。从更高的意义上说，这种数学规则的场合和条件源于数学共同体的活动情境，源于共同体逐渐积累的独特的洞察力以及共同体的文化。因此，学生的数学学习与数学理解的最终目的，应是对数学知识赖以萌发和应用的共同体文化的适应。如果站在这一高度，我们就可以对现今中学乃至大学的数学微积分教学做出较为深刻的分析与批判。应当说，只教授微积分运算规则而脱离其产生的深远背景，剥夺学生参与真实活动与理解生活实际的机会，那么留给学生的只能是惰性的、处于消极状态的知识。这直接造成学生只会解那些书本上正规的、良构性的求极限、求导之类的简单近迁移问题，而对那些需要用到无穷小思想的其他非良构的新情境中的远迁移问题却无从下手，也不能运用极限思想、导数思想去理解其他数学问题的解决方法，比如圆面积公式推导中的极限思想，甚至于对生活中常说的"人口增长极限、极限运动、生理极限"等中的"极限"一词既缺乏思维的敏感性，也缺乏对其的本质意义（或数学化意义）的把握。其实，此时学生的思维中并没有建立起对"究竟什么是微积分？它是如何得来的？它有什么用处？"等一些情境化指向非常强的问题的深刻理解。实际上，微积分的产生既有数学内部的动力（莱布尼茨解决曲线的切线问题），也有数学的外部动力（牛顿解决匀加速运动的瞬时速度问题），而且，这些问题都蕴涵了为后来的数学带来无限活力的一种全新的思想方法--无穷小分析法，如果在教学中能把整个思想发展的来龙去脉（特定的情境）讲清楚，同时用一些更亲近学生直观的活动与学习方式（以课件展示各种极限形态、让学生感受非常具有朴素意味的四大悖论、多用非数学化语言描述极限性态等）去激发与调动学生的思维，而不是只用（或一上来就用） 定义去迫使学生获得一种高度形式化的理解，那么，学生头脑中的对微积分的认识与感受自然会更丰富、更具包容性和生长力。并且，笔者认为，更为重要的是，学生在获得对于微积分概念的境脉化的深刻理解的同时，还获得了一种对数学文化的适应、逼近、认同与感悟，而后者对于学生数学信念的形成与能力的发展，是非常重要的。
    四、数学理解的教学设计观
    "获得隐喻"的信条多年来一直统领着整个数学教育实践，它的核心思想是："数学知识是由符号化的心理表征组成的，数学认知活动是由这些表征中的符号操作组成，……"，从这一意义上说，达到对数学知识的理解就是要获得预先设定的符号表征系统，相应的，数学教学就是要发现促进这种获得的最有效手段 。雷斯尼克（Resnick）指出，"学习不是靠获得，而应该是参与，参与实践、参与对话、参与活动"，所以，这种强调学习的合作性、情境化的学习隐喻显然对"理解的获得"这一简单化认识做出了深刻的批判。这一观念上的转变要求数学教学设计这一新兴研究与实践领域必须对如下理念做出格外关注：
    l 数学教学不能仅仅只教授机械的算法和规则，同样要给予学生机会去应用这些算法和规则，要为学生创设一个独立识别问题、提出问题和解决真实问题的数学学习环境,从而在知和行的交互中达到对算法和规则的理解。
    l 在数学学习活动中，构建学习共同体和实践共同体，让学生在参与与教师、与专家、与家长、与其他学生等的对话与互动中，达到对数学知识的社会协作性建构。
    l 要为数学中的知识（主要是技能应用性知识）创设逼真的、问题丰富的环境，让数学学习抛锚在一种反映知识在真实生活中运用的境域之中。
    l 对抽象程度较高的数学知识，也要为学生提供相对直观与现实（并非绝对）的问题境脉。
    l 数学教师具有多元化的角色定位，不仅作为内容上的专家，而且也是学习和问题解决的专家，但这种专家性角色在协商活动中是参与性的而非指示性的，在适宜的时候，教师要为学生搭建认知脚手架。
    l 教师是而且必须是教学的设计者，而非教学设计的忠实执行者。
    l学习活动中的反思非常重要，它使个体有机会来思考他们在做些什么、为什么这么做。作为一个积极的、严格的和分析的过程，反思过程对数学学习的质量是很关键的 。
    l 学生必须被赋予对于数学问题情境的探究的所有权，要让他们感到这个数学问题值得自己去努力，而且必须把自己的努力看作是能够产生变化的解决方法（而不是学校式的方法），学生必须感到对解决方法负有责任。教师不能直接告知方法，或引诱学生得出教师想要的方法，那样学生并没有真正进入数学的脉络化思维与理解之中。
    在此，笔者抽取出促进理解的数学教学模式设计中的核心要素（见图1），限于篇幅，就不展开详细论析了。
    五、数学理解的评价观
    如何评价学习者的理解，这历来是数学教育实践界与理论界十分关注的问题。理解一个数学领域（domain）中的各种概念不是仅积累了一整套的事实和程序，而是在已存的数学知识间建立新的联系，以及新信息被连接或整合到已存知识之中。理解是具有发展性、生成性和阶段无序性的，所以评价就不能仅仅局限于强调在教学中检测学习者是否获得了数学事实和程序，而应关注于学习者正在形成的数学观念之间新的联系，关注在新的情境中对已存知识的运用，关注在解决问题中所应用的推理层次。对于数学理解的评价首先应当确立以下三个假设：1、评价应当被视做作一个不间断的过程，这一过程应被整合进教学过程之中；2、对于学生知识理解的发展的评价应来自于多重的证据来源；3、评价应当既包含对源于课堂交互的信息的精细实录，也应包含书面作品。

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