思路自然才是最美的

自然是最美的。这是我们在数学教育实践中始终贯彻的基本宗旨之一[1]。

　　对高中生要不要学三垂线定理及其逆定理的观点，我看到过许多教师建议不用学的观点[2]，理由是它在表达上可取代。尤其是更简洁。

　　 例如，证明空间两直线垂直通常用两个法则，一个是线面垂直定理，另一个是三垂定理。确实是表达上，线面垂直定理在可取代三垂线定理及其逆定理，如图:要用三垂线定理证明直线c与直线三垂线定理及其逆定理垂直，必须证明直线c与直线b(a在平面 内的射影)垂直，而证明直线b是直线a在 内的射影，则又必须证明直线d垂直于平面 。如果证明了以上关系，实际上就已证明了直线c垂直于直线b、直线c 垂直于直线d，这实际上已经取了线面垂直的两个条件，故只要是用三垂线定理证明的都可以用线面垂直来做[3]。

　　笔者在教学的时候，也发现三垂线定理及其逆定理在实际应中书写较多较繁，学生不易掌握，但不讲三垂线定理及其逆定理又使学生在解题时不是少了一种方法，而是少了一种自然，许多题学生摸不着头脑，不知如何下手。相反，学了三垂线定理及其逆定理后，思路就很容易打开。

　　例如已知正四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁ D₁ 的底面边长为a，侧棱长为2a(如图)，

　　    求： 以 B₁C 为棱，AB₁ C和BB₁C 为面所成的二面角。

　　  解 作BE⊥B₁ C于E，连结AE，

　　  ∵ AB⊥平面BB₁C，所以BE是AE在平面BB1 C上的射影，

　　  根据三垂线定理知AE⊥B₁C，于是

　　∠ACB就是所求二面角的平面角。且⊿ABE是直角三角形。

　　在Rt⊿BB₁ C中，

　　  所以AB₁C 和 BB₁C 为面所成的二面角的大小是

　　正是因为学了三垂线定理及其逆定理， AB⊥平面BB₁ C，自然想到斜线AE和它在平面BB₁ C上的射影BE，只要其中一直线与直线 垂直，则另一条也与直线 垂直。从而一举两得。

　　 又如，如图，在直三棱柱 — 中， 是线段 的中点， 是侧棱

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