一道东莞竞赛题的一题多解 中学数学教学优秀论文.doc

【摘要】  本篇是从一道东莞竞赛题出发进行研究，一题多解。将这道题作为一个很好的载体，通过对它的研究我们将各个数学分支的知识以及数学思想方法有机的结合到一起，全面培养学生的分析能力，扩展学生的视野。

【关键词】  一题多解；不同数学分支；思想方法;分析能力

题目：已知、是半径等于5的圆上的两定点,是圆上的一个动点,若,设的最大值为,最小值为,则的值为_________.

    本题是一道数学竞赛题,适合于初中生与高中生.初审此题,我们很自然地想到要用到圆的几何性质来解决此题.最小值问题比较简单,当点在圆上运动的时候,我们会发现如果点异于、两点,则可组成一个三角形,此时.因此最小值是当点在点或者点时取到,长度为6.

    求最大值是一个难点,是我们本次研究的主题.笔者就求最大值问题给出了10种解法.这10种解法涉及到了平面几何、三角、解析几何、函数、微积分、不等式等领域.本题是一个很好的载体,有助于我们加深对数学思想及方法的认识.

一、几何方法

解法一：由观察,我们猜想点在图1所示点位置(即弦的中垂线与优弧的交点)时取得最大值.这样猜想的直观依据是点在、时取得最小值,由圆的对称性我们认为沿优弧运动时逐渐变大,直至点取得最大.后面的几种解法也都是围绕这个点做文章的,出现点时就不特别说明了.

图1

首先我们很直观地知道符合条件的点只可能出现在优弧上.然后我们在优弧上取一异于点的点.延长至点,使得,连结、,则.首先我们有又由,我们有因此.在和中,又有,则≌,因此. 在中,,即, 即证. 由简单的计算可知.

图2

解法二：如图2,我们只考虑在劣弧且的情况（不满足此条件的显然无需考虑）.延长到,使得,连结.在上取一点,使得.连结.由辅助线我们有,则要证结论,                   只需证明.在圆中,,,我们有≌,所以,,并且由角度相等可得四点共圆.设,则显然 .由四点共圆以及,我们有,设为，则,因此……………………………【全文请点击下载word压缩文档】点击下载此文件