无变不生奇，无奇不引人——例谈“问题变式”在数学复习课中的作用 高中数学获奖论文.doc

【摘  要】数学的魅力在于“变”，设计问题变式，让课堂在“变”中出彩，使复习课更有效。

【关键词】问题变式； 复习课； 有效 

复习课以往一贯的做法：复习基本知识与方法，例题精讲，练习巩固。这样做的目的是使学生认知结构得到完善，思维能力得到发展。但数学的复习教学是一个很杂乱的过程，弄不好会有“既费了时间，又不着力”的感觉。如何使复习课更生动，更有效，让数学复习课“活”起来？这就要求数学课堂的设计要做到化繁为简，化散为整。本文仅从“问题变式”的应用入手，谈“问题变式”在数学复习课中的作用。

1  在“变式”中理解数学概念

复习课的主旨是知识的再现，其目的是唤起学生的记忆，为本节课的进一步深入提供必要的基础支撑。在这个过程中，对一些学生容易混淆的数学概念，可适当地利用问题变式，加深学生对数学概念的认识和理解，提高学生辨别是非的能力，使课堂在学生积极的思维活动中充满活力。

案例1  在复习“空间中的平行关系”时，笔者首先引导学生回忆了空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行关系，接着给出下面的问题变式：

问题1  设、、为三条不重合的直线，、、为三个不重合平面，现给出六个命题：①； ②； ③；

④；⑤；⑥。其中正确的命题是（    ）

A．①②③   B．①④⑤    C．①④    D．①③④

变式  已知平面、和直线，给出5个条件：①；②；③；④；⑤。要使，应选择下面四个选项中的（    ）

A．①④     B．①⑤      C．②⑤    D．③⑤

空间中的平行关系特别是直线与平面的平行关系，学生特别容易判断错误，通过这样针对性的变式练习，帮助学生加深理解“空间中的平行关系”，避免学生在理解上可能出现的错误，使复习收到较好的效果。

2          在“变式”中掌握数学方法

数学不是技艺型的学科，而应是属于思考型的学科，所以在数学教学过程中应注重通性通法。让学生熟练地掌握解题方法、提高解题能力是数学复习的重要目标之一。因此，数学复习课堂上应该更多地注重“一题多变”“一题多用”“多题归一”，更多地注重抓题目“核心”，“提炼”解题的思想方法，并特别重视对题目解后的回顾与反思：能否用别的方法导出这个结果？能否把这个结果或方法用于其他的问题？

案例2  在复习“导数及其运用”时，笔者为了帮助学生更好地掌握导数与函数单调性的关系，设计了下面的问题及其变式：

问题2  已知函数在区间内是减函数，求实数a的取值范围。

变式1  已知函数在区间上递减，在区间上递增，求实数a的取值范围。

变式2  已知函数在区间内存在单调递减区间，求实数a的取值范围。

变式3  已知函数在区间内不单调，求实数a的取值范围。

在问题2中，“函数在区间内是减函数”等价于“不等式对恒成立”。虽然本题的求解思路不止一种，但转化为不等式恒成立问题显然过程更简洁，更易于理解。变式1比问题2多了一个单调区间，可转化为两个不等式恒成立问题：当时，不等式恒成立，且当时，不等式恒成立。变式2好像是存在性问题，看似思维突变，实则仍是恒成立问题，不妨从反面入手，假设在区间内不存在递减区间，而又不存在常数函数区间，所以在区间内递增，由此可转化为不等式恒成立问题。变式3依然可从反面入手，假设在区间内单调，可转化为两个不等式恒成立问题。

以上所探讨的“函数在给定区间上单调”问题，通过问题变式，由易到难，很好地完成了引导学生夯实基础，总结解题方法，提高解题能力的任务。

3   在“变式”中体会数学思想

数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过教师对典型例题的分析和学生的自主探索活动，使学生逐步掌握数学概念、结论形成的过程，体会其中蕴含的思想方法。在数学复习教学中，合理地运用问题变式，让学生通过探究问题变式，体会数学思想方法的价值和妙用，提高数学复习的有效性。

案例3  在复习“立体几何”时，笔者为了帮助学生能多角度观察空间几何问题，认识图形中的数量关系，拓展学生探究问题的方式和角度，设计了下面的问题及其变式：

问题3  如图，在中，∠ABC=60°,∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°。

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值。

变式1  将条件中的∠BDC=90°改为∠BDC=120°，如何处理？

变式2  改E为线段BC的一动点，试求与夹角的余弦值的取值范围。

变式3  若AB=1，点F在线段AC上，（其余不变），求△DEF周长的最小值。

变式4  试问在平面ABC上是否存在一点P，使得该点到棱锥A-BCD的四个顶点的距离均相等？若存在，请求出│AP│，若不存在，请说明理由，并判断在棱锥体内部这样的点存在吗？

问题3是一道比较简单的中档题，只要建立空间直角坐标系，所有问题都可迎刃而解，变式1主要考查学生在没有现成的三线两两垂直的情况下，如何建立空间直角坐标系？变式2主要考查学生如何选择参变量写出点的坐标，并构造函数模型求函数的值域？变式3主要考查学生怎样利用空间图形的几何性质探究最值问题？变式4的设计意图是借助固有的研究思路，将平面的“等距问题”拓展到空间。

通过以上的问题变式，学生领悟了高中数学中四种主要的数学思想方法——函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等在数学解题中的妙用，能理解、体会并能自觉将数学思想应用于数学问题的分析和解决的过程中，提高了复习的效果。

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