由“张冠李戴”引起的思考 高中数学获奖论文.doc

中学  孙海琴

一、 提出问题

例1 若关于x的不等式的解集为，求的值。这是笔者在高三复习课上所选用的一道例题，当时有部分学生给出了如下解答：

解：设，则，所以

在上是单调递增函数，所以，即为方程的两根，所以

二、 检验答案

实际上，由为方程的两根可得，则不等式的解集为，显然不合题意。那么看似“完美”的解答为何出现如此错误呢？

三、回顾过程

原命题：设， 时有，求的值。学生进行了以下等价变形：首先，因为的范围即为函数的值域，的范围即为函数的定义域，所以得到等价命题，函数的值域为时，定义域为，求的值。其次：命题的条件为值域，定义域，结论为的值，交换条件可得等价命题，已知函数的定义域为，值域为，求的值。

四、问题诊断

（1）概念更换是否等价

人教A版必修1：对于函数，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，因此定义域的理解是正确的，但并不能说明函数的值域为比如不等式是有意义的，且解集为，但函数（），值域并不是。

（2）顺序更换是否等价

一般地，对于命题：若，则，如果条件是并列的，那么命题等价于若，则。但例1 ：时有，求的值。这是一个含参数的命题，条件是，结论是，两个互逆关系的命题，不一定等价。

五、重新审视问题

关于x的不等式实际上就是一个含参数的不等式组，

即等价于，显然①，②两个不等式的解集都不为空，

（1）当，原不等式组等价于，

所以不等式组的解为，不合题意故舍去。

（2）当时，①的解集为，所以相当于不等式的解集为，所以，或，所以。

六、优化解答

优化一：因为，所以原不等式组可化为

，所以，

若，则不等式组的解由两部分组成，不合题意；

所以，则不等式组等价于，所以，

即，所以

优化二：数形结合解二次不等式

由图形可得，显然只有时，解集才有可能是连续的，所以的两根为，

所以

七、反思

反思1：目前的数学教学，正如章建跃所言：“大量数学教师在课堂上没有数学概念的核心内容进行教学，学生经常在没有对数学概念和思想方法基本了解的情况下就盲目进行大运动量的解题练习，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，学生花费大量时间学数学，完成了无数次的解题训练，但他们的数学基础仍然很脆弱。”因此数学教学要真正地回到重视基础的轨道上来，要搞清基本概念、基本原理，基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟。只有基础扎实，才能高屋建瓴。

反思2：许多教师总追求课堂教学“滴水不漏”，“天衣无缝”，对学生的回答或板演想方设法使其不出差错，掩盖了错误的暴露以及纠错过程，过度的防错，避错，许多问题在课堂上没有暴露，经常课后错误一大片。实际上，课堂上应给学生充分的时间思考，教师要善于捕捉研究学生出现的错误，让学生尽力错误，认识错误，纠正错误，才能有效地防止错误。教师也应帮助学生树立纠错追因意识，把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思错在哪里？为什么错？然后让学生又针对性地纠错，让错误发挥最大的育人效果。

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