种种草也锄锄草之导数与草图解题 高中数学获奖论文

种种草,也锄锄草

         ――导数与草图解题

  新河中学  陈辉陈丹

摘要：在解题中，利用图像来解题是数形结合思想的重要体现，而本文虽是挑选其中一支进行分析，但旨不在如何将数形结合的思想发扬光大，而是在挑明“怎么样的图才够正确，即使是草图却不一定草”，而对函数图像问题最有帮助的是目前的高考热点“导数”，将解题定位在高中题目是本文的出发点也是目标，只因为“导数”它真的可以帮助我们在选择用草图解题时，并且它的功能非常不简单。

关键词：草图    抽象函数    数形结合   导数  单调性方式   草图盲区

我们在函数的学习过程中，图像成为我们近距离接近函数的一条途径，而为此我们也学习了不少具体函数的图像，如指数函数、对数函数、三角函数等图像。不过事实上，我们还有一些函数的图像不会画如三次函数 、复合函数 等;而对于抽象函数的图像更不可画。而部分题目在解题时要求我们必须得通过图像来处理，并且此法是唯一可行且最优法时，于是，有根据性地引入“草图”就成了此类题型特有的一个亮点。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。而草图的解题形式更将此思想推到一个高度，可谓“题目本无形，解题却有形”。

抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式,但是给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题如例1.已知函数 为定义在 上的偶函数，且在 上递增，若有 ，求 的范围

              解:由已知得,画“草图”如图（1）

利用相应图像的特点（距离对称轴y轴越远相应的函数值越大） 

图（1）

点评:此题的求法在于本身函数是一个抽象函数，故图像不可画，若从代数角度来解题的话，我们得分情况讨论，且讨论因为繁琐而导致情况的错漏，方法并不可取，而我们在例1中根据题意为此题的抽象函数找到一个合适的“形”，尽管它比较“草”，却因为紧抓了它的单调性及对称性，更借助于图像的特点（见上）来帮助解题，简单明了。

例1的解法不仅让我们感受了数形结合的巧妙之处，同时也让我们对草图的应用产生了一些好奇及疑惑：草图是否可以替代真实函数图像进行解题?同样是单调性图像的表现,单调性方式的不同是否也不会影响整个题目的求解?

在例1中我们并没有看到它的特殊点在解题中有体现，同样,单调性方式的不同也不会影响本题的求解,那我们是否可以肯定草图的万能呢?当然不能,草图解题时也因为它的………………………………点击下载浏览全部点击下载此文件