圆锥曲线有效教学的实践 高中数学获奖论文.doc

第二中学   柳荷红

摘要 针对学生解答圆锥曲线综合题的现状，通过圆锥曲线教学中的几个具体案例，进行有效教学的实践。

关键词 教学案例；有效教学

圆锥曲线将几何和代数进行了完美结合，借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系。圆锥曲线的题目解题思路清晰，解题方法和规律性比较强，但运算过程往往比较复杂，对学生运算能力、恒等变形能力、数形结合能力及综合运用各种数学手段和方法的能力要求很高，因此，在很大程度上成为学生能力和心理上一道难以逾越的障碍。在平时的综合练习中，对于圆锥曲线的综合题，学生往往只能完成第（1）小题，对第（2）（3）小题有的怕烦而懒得下手，有的则怕难而没有信心动笔，如何改变这种现状是摆在我们数学老师面前的严峻问题。本文通过圆锥曲线教学中的几个具体案例，就如何进行有效地课堂教学谈谈自己的拙见，以期抛砖引玉。

1 利用问题系列 点拨知识联系

圆锥曲线是重要的二次曲线，透彻的理解其定义，掌握定义所反映的曲线的本质，常使问题化繁为简，化难为易。因此圆锥曲线定义的教学尤为重要。

案例1  在双曲线概念的教学中，对于定义“平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线”，若直接重述几遍，学生理解肤浅，在处理具体问题时，就可能思路受阻，漏洞百出。为强化对概念的理解，设计了如下的问题系列：

（1）将“小于”换成“等于”，其余条件不变，点的轨迹是什么？

（2）将“小于”换成“大于”，其余条件不变，点的轨迹是什么？

（3）将“绝对值”去掉，其余条件不变，点的轨迹是什么？

（4）若“常数”等于零，其余条件不变，点的轨迹是什么？

通过以上问题的讨论和探究，学生对双曲线定义中“绝对值”“常数”“小于”等有了深刻的理解，从而培养了思维的深刻性。

2 找准典型母题 衍生有效子题

圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长、标准方程的求法，圆锥曲线有关性质问题、最值问题，角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题等，备课时应特别重视每一类题型中的“母题”，它的典型性和代表性是通过改变条件或结论衍生出各种各样的子题。找准合适的母题，即抓住了重点，又节省了时间，同时可以将不同的方法和技巧得到渗透，起到事半功倍的作用。

案例2 【母题】已知P是椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，若为直角，求点P的坐标。

分析 设点P的坐标，利用数量积为零是向量垂直的充要条件，求得点P的坐标。

【子题1】已知P是椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，若为锐角，求点P横坐标的取值范围。

分析 将看作是两向量的夹角，由为锐角得从而可求得点P横坐标的取值范围。

【子题2】 (2010浙江卷) 已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.

分析 原点在以线段为直径的圆内为钝角

【子题3】 已知P是椭圆上任一点，为椭圆的两焦点，若为直角三角形，这样点P有_______个。

分析 “为直角三角形”并不等同于“为直角”，设置此陷阱的目的是培养学生解题的严谨性。

3 注重形异质同 培养思维能力

案例3 已知椭圆C经过点,两个焦点为。

(1)求椭圆C的方程；

(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值。

分析 直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数

类题1抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点,，均在抛物线上。

（1）写出该抛物线的方程；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率。

分析 PA与PB的斜率存在且倾斜角互补直线PA的斜率与PB的斜率互为相反数

类题2已知抛物线C的方程为，直线与抛物线C相交于M,N两点，点A,B在抛物线C上。若,求证：直线AB的斜率为定值。

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