浅论直觉的解题功能

即 .

进而猜想： .

    更一般地：

.

    当然，这也是猜想.它的正确性可以用数学归纳法加以证明.（证略）

3   审美直觉的解题功能

    美的意识能唤起和支配数学直觉，纵观古今，数学上的许多发现和创举无论从宏观还是微观上看无不遵循美的创造规律.难怪数学大师阿达玛认为，数学直觉的本质是某种“美感”或“美的意识”.

例3  如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A,B孔的面积忽略不计）.

分析  由于质量分数与ab成反比，欲使质量分数最小，只需使乘积ab最大.另外，从题目的结论看，也应紧紧抓住ab.这就启发我们第一步要列出a,b所满足的关系式.由原图易得 .即 .  ①

对于学生来说，当这个式子中确定使ab取最大值的a,b是一个陌生新情景，也许没有现成的模式可供借鉴.但对图形的直觉能帮助我们渡过难关.

观察原图，一个无盖的长方体给我们留下点“不完整”的感觉，于是，审美直觉驱使我们将两个这样的长方体合起来，组成一个表面积为定值120平方米、宽也为定值2米的长方体（如图）.这时直觉又进一步启示我们，侧面ABCD是正方形时，其面积为最大.

这个直觉也许不对，但至少提供了一个思路，我们按a=2b的方向去思考，用基本不等式 （当且仅当a=2b时取等号）.其取等号的条件恰与直觉一致.

代入①，有 .解不等式并注意到ab>0，有 .故当a=2b时，ab取最大值18，联立 可解得a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

4   几何直觉的解题功能

    华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微.”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对解题大有帮助.

    例4  设复数 .求函数 的最大值以及对应的θ值.

    分析  这个问题具有一个明显的几何意义，即复数

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