浅论直觉的解题功能

直觉就是直接的觉察，它是人们对客观事物一种迅速而直接的洞察或领悟.伟大的数学家、物理学家彭加勒曾讲过：“搞算术，就如搞几何，或搞任何别的科学，需要某种与纯逻辑不同的东西.为了表达这种东西，我们没有更好的字眼，只能用‘直觉’一词.”意大利哲学家、美学家克罗齐指出人的知识有两种，一种是直觉的，一种是逻辑的；前者是“从想象得来的”，后者是“从理智得来的”.克罗齐认为在日常工作中常用到直觉知识，有些真理不能用三段论法推理，必须用直觉去体会.本文就直觉的解题功能作一探讨，以供参考.

1   整体直觉的解题功能

    直觉不同于逻辑.直觉是综合的而不是分析的，它侧重于整体上把握对象而不拘泥于细节的逻辑分析，它重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向.

例1  解方程 .

分析  直觉1：从整体上直觉3，4，5是一组勾股数，x=2 是原方程的一个解.

直觉2：此题常规方法难以求解，x=2 应是其唯一解.

直觉3：题设为一指数方程，证明唯一解，指数函数的单调性可切中要害.

解  易知 x=2 是原方程的一个解.

又原方程可变形为 .

令 ，它们在R上都是单调减函数.

当x>2时，有 ，即原方程无大于2的实数解.

同理，原方程无小于2的实数解.

原方程的解为x=2.

2   归纳直觉的解题功能

       归纳直觉是一种非逻辑思维，它需要有“理智的勇气”、“精明的诚实”、“明智的克制”.在数学解题中，运用归纳直觉，虽然是冒风险的，但仍然值得重视.

       例2  设 是一组正数，证明：

.

       分析  本题直接用数学归纳法来证有些困难.我们用直觉归纳探路，先取n分别为相邻的两个正整数（1除外）.

       令n=2，则由原题知：    ①

       令n=3，则由原题知： ，

即    ②

       由①，②式的结构可以猜想：存在一个正数m，使得 ③且   ④

    这个正数m是什么？考察③，④式的结构可以猜想：

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