《三垂线定理》教学设计方案

教学过程

设计思路及多媒体应用分析

[复习]

线线垂直的定义及线面垂直的定义

在计算机上，学生自己浏览和复习

演示斜线及斜线在平面上的射影

[提出问题、引入］

已知一平面α和平面的一斜线pa，在平面内有没有直线与已知直线垂直,如果没有,请说明理由;如有,找出其中一条.

由于前面复习时演示了斜线及斜线在平面上的射影,在计算机上演示直线和平面,通过线面之间图形的旋转,让学生体会线面之间的关系,学生很容易发现结论

[学生回答]

[学生1]在平面内和斜线在平面上的射影垂直的直线是满足条件的直线

[学生2]一定吗?

学生2提出疑问,可以让学生自己在电脑上拖动直线a,观察是否始终和直线pa垂直.

[教师演示]

显示平面的垂线,斜线在平面上的射影,旋转平面的位置,移动直线a的位置.

在整个动态变化过程中,让学生体会它们之间的关系

[提问]

如何进行证明此结论呢?

[学生分析完成证明]

在电脑上打出证明过程.

[讲解]此定理为三垂线定理,

[提问]

此定理的逆命题是什么,是否为真命题

[学生分析完成]

[讲解]此定理的逆命题称为三垂线定理的逆定理

[讲解]三垂线定理与逆定理是描述的平面的斜线、斜线在平面内的射影、在平面内与射影垂直的直线三者之间的关系

涉及四条直线和一个平面,第四条直线和平面垂直,其作用是用来确定斜线在平面内的射影.特别要高清楚这五者之间的关系.

电脑特出显示垂线给平面

[例1] 正方体abcd-a'b'c'd'中,求证:db⊥a'b.

本题曾证明过，让学生利用三垂线定理再次证明，体会三垂线定理证明问题与证明线面垂直的关系

[练习]

进一步让学生巩固三垂线定理的简单应用.

让学生自己拖动控制点,感觉所要证明的直线之间的关系

[例2] 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.

[分析]:证明角相等可以借助与三角形全等.图中pe=pf,可以得到oe=of,再由三垂线定理oe⊥ab,of⊥ac,易得rt△aoe≌rt△aof.从而得证.

[证明]:(电脑显示).

让学生结合图形写出已知、求证

[小结]:

要掌握的 知识点:

(1)三垂线定理及逆定理的证明

          (利用"线面垂直"→"线线垂直")

   (2)三垂线定理及逆定理的应用

          (要注意直接由"线影垂直"→"线线垂直"

            及"线线垂直"→"线影垂直")

能力要求:如何证明"线线"、"线面"间的垂直.

师生共同小结

[作业]

(见课件)