说课教案：求曲线的方程

教学

环节

      教学过程

            设计意图

导

入

新

课

  引例：在南沙群岛中，甲岛与已岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？

 首先通过学生讨论，猜测军舰巡逻的路线，在用电脑演示军舰巡逻的动画效果，使学生知道路线应该是一个圆，同时也使学生想到了初中学过的点的轨迹这个概念，并适时地让他们再举几个生活中有关点的轨迹的例子。

新

1了解知识阶段：

（1）简介什么是解析几何？并以小故事的形式简单讲述迪卡尔和费马是怎样创立的解析几何及其发展史？

（2）复习思考： ①“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义是什么？②利用上述两个概念，解析几何中

学生刚开始接触解析几何，感到很陌生，以小故事的形式让他们了解解析几何这门学科，可以提高他们学习本节内容的兴趣，适当的调解一下部分同学在接受新知识时，担心学不好的情绪。用数学家的故事去激励他们不断地去开拓，去创新，去探索数学王国里的神奇。

课

讲

解

借助怎样的方法来研究几何图形？③平面解析几何研究的主要问题是什么？

2、深化知识阶段

例1、设a,b两点的坐标是（-1，-1）（3，7），求线段ab的垂直平分线的方程？

（1）利用所学知识求直线方程。

思考：①如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件？②几何条件能否转化为代数方程？用什么方法进行转化？③用新方法求得的直线方程，是否已符合要求？为什么？(提示:方程与曲线构成对应关系,必须满足什么条件?)

例2、已知点c到直线l的距离为4,若动点p到点c和直线l的距离相等,求动点p的轨迹.

思考(1)与例1相比,有什么显著的不同点?(2)你准备如何建立坐标系,为什么?(3)比较所求的轨迹方程有什么区别?从中得到什么体会?

 学生在此之前已经学过直线的方程，因此例1会很容易的求出。然后引导学生从点的轨迹角度考虑此题的解题思路。鼓励学生多向思维。

解题反思：引导学生归纳一下求曲线方程的一般步骤：

（1）       设点---用（x,y）表示曲线上任一点m的坐标：

（2）       寻找条件----写出适合条件p的点m的集合p= ;

（3）       列出方程----用坐标表示条件p(m),列出方程f(x,y)=0

（4）       化简---化方程f(x,y)=0为最简形式

（5）       证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点

在独立思考,相互交流讨论的基础上,教师适时点拨,学生自主解决.

解题反思(1)没有确定的坐标系时,要求方程首先必须建立坐标系.(2)坐标系选取适当,可以使运算简单,所得的方程也比较简单.(3)同一条曲线,在不同的坐标系中会有不同的方程.

根据例2,学生对求曲线方程的步骤完善为:第一步应改为建系设点,建立适当的直角坐标系.

如何建立适当的坐标系是一个难点,教师在例2学生建立坐标系的基础上,教师总结建立坐标系的原则: 一是建立的坐标系有利于求出题目的结果；二是尽可能多的使图形上的点（或已知点），落在坐标轴上；三是充分利用图形本身的对称性.若曲线是轴对称图形,则可以选它的对称轴为坐标轴,也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点.

在例1,例2的基础上,在看引例:

思考(1)如何把实际问题转化为数学问题?(2)你觉得应如何建立直角坐标系?(3)从军舰看甲,已两岛,保持视角为直角可转化为那些几何条件?(4)所求方程与军舰巡逻路线是否对应?

解题反思(1)在同一坐标系中,用不同的几何等量关系求得的曲线方程式相同的.

(2)寻找合适的几何等量关系,可以简化运算.(3)解题过程中应考虑实际意义.

3、巩固知识阶段:

课堂练习:过点p(2,4)做两条互相垂直的直线 ,若 交x轴于a点, 交y轴于b点,求线段ab的中点m的轨迹方程.

鼓励学生多角度的去思考问题,解决问题,,寻找不同的等量关系求曲线的方程

求轨迹方程的问题,要根据条件结合图形认真分析,联想相关的平面几何的指示,合理选择动点所满足的几何条件.

小

结

引导学生小结：

1．知识方面：

2. 能力方面：

3. 由本节课的学习得到的体会和引起的想法.

学生的体会是多方位的，多角度的，因此小结内容也是很灵活。主要是学生在本节课在知识技能等方面形成过程中，用到的技能和数学思想方法进行小结，从而学生对本节有一个整体的把握。

作

业

 4,5,6,7.

进一步深化学生对本节内容的理解.