双曲线的简单几何性质 高二数学说课稿

3.双曲线的渐近线的发现、证明

（1）发现

由椭圆的几何性质，我们能较准确地画出椭圆的图形。那么，由双曲线的几何性质，能否较准确地画出双曲线 的图形为引例，让学生动笔实践，通过列表描点，就能把双曲线的顶点及附近的点较准确地画出来，但双曲线向远处如何伸展就不是很清楚。从而说明想要准确的画出双曲线的图形只有那四个性质是不行的。

从学生曾经学习过的反比例函数入手，而且可以比较精确的画出反比例函数 的图像，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是 的渐近线，为后面引出渐近线的概念埋下伏笔。从而让学生猜想双曲线 有何特征？有没有渐近线？由于双曲线的对称性，我们只须研究它的图形在第一象限的情况即可。在研究双曲线的范围时，由双曲线的标准方程 ，可解出 ， ，当x无限增大时，y也随之增大，不容易发现它们之间的微妙关系。但是如果将式子变形为 ，我们就会发现：当x无限增大， 逐渐减小、无限接近于0，而 就逐渐增大、无限接近于1( )；若将 变形为 ，即说明此时双曲线在第一象限，当x无限增大时，其上的点与坐标原点之间连线的斜率比1小，但与斜率为1的直线无限接近，且此点永远在直线 的下方。其它象限向远处无限伸展的变化趋势就可以利用对称性得到，从而可知双曲线 的图形在远处与直线 无限接近，此时我们就称直线 叫做双曲线 的渐近线。这样从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。

利用由特殊到一般的规律，就可以引导学生探寻双曲线 (a>0，b>0)的渐近线，让学生同样利用类比的方法，将其变形为 ， ，由于双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限向远处的变化趋势，继续变形为 ， ，可发现当x无限增大时， 逐渐减小、无限接近于0， 逐渐增大、无限接近于 ，即说明对于双曲线在第一象限远处的点与坐标原点之间连线的斜率比

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