区1-6年级学生概率概念建立情况的调查报告

教育部制定的《全日制义务教育数学课程标准》（实验本）（以下都称“《标准》”）将“统计与概率”内容作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一，从第一学段起就安排了有关的学习内容。在我国的小学数学教学史上，概率教学几乎没有涉及过，统计教学重点放在统计初步知识、技能的掌握。《标准》中要求的小学“统计与概率”内容怎样进行教学，这是摆在教师面前的一个新的课题。笔者对上城区1-6年级儿童原有概率概念的建立情况进行了调查研究，旨在为小学数学“统计与概率”教学研究提供科学的依据。

2002年12月9日，抽取杭州市上城区6所学校1-6年级24个班级共564名学生，（其中一年级62名，二年级67 名，三年级119名，四年级107名，五年级94名，六年级115名。进行了测试与访谈。测试与访谈的内容有：对不确定现象的认识；对可能性大小的理解；简单事件发生的可能性大小的计算。

根据《标准》第一、二学段关于概率的具体目标，我们将小学生建立概率概

念分成如下六个层次进行分析。

    第零层次 不知道事件的发生是确定的和不确定的（包括答错和不回答）；

第一层次 知道事件的发生有些是确定的，有些是不确定的；

第二层次 能够列出简单试验所有可能发生的结果；

第三层次 知道事件发生的可能性是有大小的；

第四层次 能用具体的数量表示事件发生的可能性大小；

第五层次 能理解大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，次数

越多就越接近这个比例，次数少就偶然性很大。

由表1可以看出，只达到零层次水平的，一年级最多，三年级、五年级比例很小，四年级、五年级为0。一年级学生只能到达第一层次，二年级学生只能到达第二层次，三年级至六年级学生最多能到达第四层次。能达到第四层次的是六年级最多，随着年级的降低比例相应减少。这说明小学生的概率概念在未进行教学前不是“空白”，他们已不同程度地有了关于概率的部分知识，正处在四个不同层次的水平上。

由表1可以看出，有46.8%的一年级学生能认识事件发生有确定和不确定两种现象。具体表现在：能正确地用“可能”，“可能不”，“肯定”，“肯定不”来表述不确定性事件和确定性事件发生的结果。但还有53.2%的学生未达到第一层次。二、三、四年级第一学期达到第一层次水平的在55%—61%之间。具有零层次水平的情况，主要存在于一、二年级。

由表2可以看出，在未经概率教学前42．4%的小学生只能达到第一层次，其他各层次人数都不到20%。由表1还可以看出，四上年级或以前的各年级，有60%左右的学生只能达到第一层次，五、六年级还停留在第一层次的人数明显减少。

为了便于比较分析，我们把测试题的通过率人为地25%、50%、75%、90%作为四个划分点，将0-100%划分为未掌握（25%以下）、开始掌握（25%—50%）、部分掌握（50%——75%）、基本掌握（75%—90%）和已掌握（90%或以上）五个阶段。

概率知识内容分五个部分：

第一部分   知道简单事件发生有确定的或不确定的，并能用“可能”、“可能不”“一定”等词描述。

第二部分   能列出简单的不确定性事件所有可能发生的结果

第三部分   知道事件发生的可能性有大有小

第四部分   会求一些简单事件发生的可能性

第五部分   能理解大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，次数越多就越接近这个比例，次数少就偶然性很大。

由表3可以看出不经过教学，对“事件发生的确定性与不确定性”的认识，第一学段是处在“开始掌握”向“基本掌握”发展阶段，学生到第二学段能达到“已掌握”阶段。“列出简单的不确定性事件所有可能发生的结果”这一内容，三年级以前处在“未掌握阶段”，三年级以后从“开始掌握”向“基本掌握”发展阶段。“知道可能性的大小”这一内容，四年级以前处在“未掌握”阶段，四年级、五年级处在“开始掌握”向“部分掌握”发展阶段，六年级仍处在“部分掌握”阶段。“会求一些简单事件发生的可能性”这一内容，五年级以前处在“未掌握”阶段，五、六年级都处在“开始掌握”阶段。“理解大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，次数越多就越接近这个比例，次数少就偶然性很大”这一内容，小学阶段都处在“未掌握”阶段。

我们将学生解答概率题时产生的错误类型分为如下几种：

第一种类型 不理解题意不作答；

第二种类型 不知道是一个不确定性事件；

第三种类型 知道是一个不确定性事件，但不能列出所有可能发生的事件；

第四种类型 知道是一个不确定性事件，但不能估计可能性的大小；

第五种类型 能估计可能性的大小，但不能解释；

第六种类型 知道是一个不确定性事件或确定性事件，但不会用数量表示，或对表示可能性大小的数的意义不理解。

让学生用“可能”、“可能不”、“肯定”、“肯定不”说一说摸奖结果，有学生会回答“肯定中奖”，访谈时这位学生说：“因为我看妈妈摸奖中奖了”。有学生说“肯定不会中奖，因为人太多了，这个奖轮不到我的”。也有的学生回答“肯定不中奖”，访谈时他说“我到摸奖的地方去看过，有很多很多人在括奖券，一个也没括到奖。”

    学生在解答“一个六个面的骰子，每个面上分别标有1—6六个数字，扔一次，你认为有可能是哪个数字朝上？”时，比较典型的回答：“是1朝上，因为1最小，小的容易出现。”

学生解答“小红抛硬币玩，第一次正面朝上，第二次正面朝上，第三次正面朝上，猜一猜，第四次正面朝上的可能性大还是反而朝上的可能性大？”时，典型的回答是：“反面的可能性大，因为连续正面的可能性很小。”