中职应用数学中最值问题的巧解探究 职高获奖论文

职高文化课论文

中职应用数学中最值问题的巧解探究

温岭市太平高级职业中学     寿飞

摘要：有关求最值的问题，在中职数学中很常见，这种求解最值的题目通常出现在职业高中数学的其他分科中，比如代数、三角函数、解析几何，而且它也是许多生活数学问题解决的桥梁。学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，不但能够提高学生分析问题和解决问题的能力，也是进一步为以后解决数学中的最值问题打下基础。本文将以例解的形式探究最值的求法，并给出若干思路和方法。

关键词：最值、均值定理、二次函数、判别式、三角函数

引言：

最值问题遍及中职数学的很多角落，代数、三角函数、解析几立体几何等几乎都能找到这种类型的题目，而且在生活生产实践中也常常出现，有着广泛的应用。因此很有必要对这类型的题目进行总结，帮助学生理顺思路，指明解题的技巧和方向。本文将从一些实际的应用题目出发来分类讲解。

一、 利用均值定理的知识来求最值

均值定理：当 ,(当且仅当a=b时等号成立)

应用：(1) 如果两个正数的和是定值，则这两个数的积有最大值。当且仅当两数相等时，两数的积取最大值。

(2) 如果两个正数的积是定值，则这两个数的和有最小值。当且仅当两数相等时，两数的和取最小值。

例1.1、当x>1时， 有最小值，并求出当x等于多少时有最小值，最小值为多少？

解：

因为x>1，所以x-1>0

所以 ，当且仅当 即x=3时取最小值5。

点评：在运用均值定理解题时，有时会出现不能直接求解的情况，此时要会灵活变式，或在原式上“加一项减一项”，或在原式上“乘一项除一项”，以达到“运用均值定理后一边为定值”的结果。

例1.2、用一根长16米的木材做一个“目”字型的窗框，问宽和高分别为多少时，才能使得透光面积最大？最大面积多少？（忽略耗材）

分析：这是个应用题，求解时，首先要记得求什么设什么的原则，然后根据已知条件写出关系式，一般都能通过关系式发现解题方向。

解：设宽为x米，高为y米，透光面积为S平方米，则4x+2y=16,S=xy

因为x、y为正数，所以4x、2y为正数

所以4x+2y≥ ，解得S=xy≤8，当且仅当4x=2y=8即x=2、y=4时等号成立。

强调说明：在解答过程中，均值定理的成立条件要时刻关注。

例1．3已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 ………………………………【全文请点击下载】点击下载此文件