“街心广场”学习片断及对计算技能科学化的思考

学生的方法得到同学们的热烈的掌声。

随即有同学问：“为什么不把小数点加在0和6之间呢？”

学生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006.小数点‘点’哪儿呢？我认为不会是00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了, 小数点前只能是一个0,所以是0.06.”

学生6：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10分，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.”

学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。”

三、我的分析

学生1“我是这样想的,宽是0.2米,不到1米,所以结果不会是0.3(平方)米; ”这是对结果进行了估算，然后用百格图 “0.3米代表花园的长，0.2米表示花园的宽，这些方格占百格图的百分之六，所以0.3×0.2结果是0.06.” 是借助于图式揭示了0.3×0.2=0.06的算理。

学生2,3将问题作了转化，而这里的转化又借助了乘法的运算律。

学生4,5借助于类比推理, 方法直观，新奇，富有创新性。但这是从形式上，从表面上去理解的，没有从算理上给出0.3×0.2=0.06的解释。类比导致发现，往往不能揭示数学的本质，这也是类比的局限。

学生6的理由：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10分，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.” 从小数和除法的意义上去理解的，从他的理解可以看出，他对小数、除法及分数的意义和联系，以及“先分后取”都有比较航渡的理解。

学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,应当得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。”这里面有推理，有估算，但这种思路还不能完全解决0.3×0.2为什么等于0.06的问题。

从这一教学片断中，我们可以看出，不同的学生建构自己的知识大厦时，所用的方式是多样的。我们也只有了解了学生的想法，知道了学生的困惑，才能做到有的放矢，因势利导，将教学落于实处。

四、专家思考

这个案例给学生独立探索的空间，让学生经历了自我创造的全过程。把算理和具体的计算方法巧妙地融合在一起。学生获得的收益是多层面的。

学生的方法中有一种就是画图的，这种解法运用了数形结合的思想，学生思路清晰，也知道用长乘宽得出长方形的面积，在一个边长为一米的正方形，它的面积是一平方米，长是0.3米，只有3小格，0.2十分之二，画出来的小方格呢，是在一百格里面的6个，所以是0.06，所以这个学生也很聪明，他的方法非常直观，就是通过这个阴影部分与整个图的关系，他马上看到了，阴影占百分之六，百分之六就是0.06。这说明学生能够借助前面的经验来这样解决问题的，这孩子的形象思维比较丰富。这种方法也是值得提倡的。

其余几个孩子的想法，他们都有一些逻辑推理的过程，我印象很清楚，一个孩子说0.3乘0.2，他只把0.2扩大10倍，2乘0.3的0.6，然后我把0.6再缩小十倍，就缩小它的十分之一就是0.06，他的旧知0.3乘2已经会了，给它变成0.3乘0.2怎么办，再缩小十倍等于0.06。

在自我探索和合作交流的过程中，学生的思维模式发生了变化，在相互碰撞的过程中，学生学会了倾听和接纳，把一个人的智慧变成了全体成员的智慧。

准确把握算理和具体计算方法的关系

一些教师认为，计算教学没有什么道理可讲，学生只要把法则牢记于心，反复“演练”就可以达到正确、熟练的要求。我们不能想像一个连基本的计算原理和方法都模糊不清的学生能够灵活、简便地进行计算，会具有较强的计算能力；

一些教师认为，算理非常重要，在计算过程中让学生会说一整套的程序化的语言，以表明学生对算理的理解，这种任意拔苗助长的做法也是不可取的。因为这样做不符合孩子的认知规律，也不可能让小学生一下子说那么多？说那么多，他真的理解吗？

在小学阶段，学生学过的定律有加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律共五个运算定律，这五个定律在中学同样适用，一直到实数范围它是通行无阻的。所以从理论上讲只有运用了运算定律，才能保证某些计算结果的严密性。以往我们的认识停留在把运算定律用到简算——利用运算定律会简便计算，其实运算律不仅仅用在简算方面，更重要的是它能够保证整个计算的正确性，取得唯一的结果。

那么小数乘法的算理到底是什么呢？

0.3× 0.2

=（3 × 0.1）×（2 × 0.1）

=（3 × 2）×（ 0.1 × 0.1）

= 6× 0.01

= 0.06

这是正确的算理，它是利用了小数的性质、小数的意义和乘法的交换率与结合律，保证了计算结果的正确性，这是运算定律，这是我们的算理。

老师们肯定有疑问：对于0.1×0.1，本来就不会，那该怎么办？

0.1乘0.1等于0.01，是没教过，那没教过怎么能让孩子们明白这个道理，小数乘法跟整数乘法一样，0.1乘0.1等于0.01，实际上它是小数的十进制进数的关系，比如，我从整数讲到小数，大家都知道，十个一是一个十，十个十是一个百，那么反过来也可以讲，一百的十分之一是十，十的十分之一是一，那么一的十分之一0.1，0.1的十分之一0.01，这个算来算去还是很清楚的，因为整数小数都是十进制进数，所以利用十进制计数的道理，又利用了乘法交换律和结合律，小数乘法的算理就明了。

其实，算理已经和学生具体的计算方法有机地融合在一起了，不必拿出来给学生单独讲算理。

算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以，算理为法则提供理论依据，法则又使算理具体化。

现在计算教学淡化了程式化地叙述算理和计算法则，重在让学生经历计算方法的获得过程，重在展示计算方法的形成过程，重在暴露学生的思维过程，让学生真正理解算理，掌握具体的计算方法，形成计算技能。在教学中，既要使学生知道怎么算，又要知道为什么这样算。学生明确了算理和具体的方法，才能灵活、简便地进行计算，才可能产生多样的算法。