大气的课堂、灵动的课堂——“圆的面积”赏析

三、第二次探究，明确方法，体验“极限思想”

1、布置第二次研究任务。

师：刚才我们发现不管是折成的三角形，还是剪拼成的平行四边形都不是很像，怎么才能更像呢？值得我们继续研究研究，请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。

2、小组合作，教师巡视指导。

3、学生反馈。

师：各个小组都研究出结果了，谁想先来展示一下？请你们小组先说。

生1：我们把圆对折平均分成16份，折出的形状很像是三角形。

师：为什么要折这么多份？

生1：因为折成4份的话，折出的形状是扇形，和三角形相差太大。折的份数越多，折出的形状越像三角形。

师：把一个圆对折平均后16份的形状，确实更像三角开了，能让折成的图形更像三角形吗？

生：折成32份。

师：你再折试试看。

生：（不动）

师：看来同学们再继续折纸有困难了，老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状(课件演示“正十六边形”)，这一份看起来像是三角形了。现在我们再把它平均分成32份，有什么变化？(课件演示正32边形，并突出其中一份的形状。)

师：如果折成64份、128份……闭上眼睛想一下，会怎么样？

师：大家请看屏幕，把圆平均分成4份，其中的一份和三角形差得确实比较大。请大家观察把圆继续分下去时会发生什么变化。(利用课件从4份开始演示，分的份数逐渐增加。)

生：(感觉很神奇)越来越接近三角形了。

师：和大家想的一样，把圆分的份数越多，其中的一份越接近三角形。三角形的底可以看成这段弧，三角形的高可以看成是圆的半径。你们会求三角形的面积吗？

生：能！

评：操作、演示、追问、想像、贯通，层次分明。通过课件的动态演示，弥补了动手操作过程中的不足，让学生清晰地体验到随着等分的份数增加，得到的扇形的圆弧，逐渐在变直，并且也感受到当等分的份数无限地多下去，那么最后得到的扇形也就无限地接近三角形。

师：用这个方法，我们成功地把求圆转化成三角形，求出了圆的面积。刚才有的小组方法不一样，上来说一说。

生2：我们把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。

师： (把这个小组的作品贴在黑板上)，和刚才剪成4份拼成的图形相比，有什么变化呢？

生：更像了。

师：能更像吗？有的小组有新的方法了。

生3：我们把圆剪成16份，拼成了平行四边形。(把这个小组的作品贴在黑板上。)

师：和前两次拼成的图形比，又有什么变化？

生4：更像平行四边形了。

师：这两种和刚才第一种比，更像平行四边形了，如果还要更像呢？怎么办？

生4：可以继续分下去，分成32份。

师：再像呢？

生：把圆平均分成64份，128份……

师：现在如果老师让你把圆剪成128份，有什么感觉？

生：太麻烦了。

师：我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了32份，看拼成新的图形，你有什么发现呢？(课件演示。)

生：拼成的图形更接近于平行四边形。

师：如果把圆平均分成64份呢？(课件演示。)

生：更接近于平行四边形了，有些像是长方形了。

师：把圆平均分成64份，拼成的图形有些像长方形了。大家想象一下，如果把圆分的份数再多呢？

生：拼成的图形更接近长方形。

师：大家请看屏幕(课件演示)，把圆平均分成128份，拼成的图形看起来很像长方形了，分的份数再多呢？

生：简直就是长方形了。

师：把圆剪一剪、拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢？

生：面积。
师：只要求出长方形的面积，就可以求出圆的面积。

评：当动手操作已经无法再完成时，老师用课件动态演示，弥补操作与想象的不足，帮助学生进一步感知平均分的份数越多，剪拼成的图形越来越像平行四边形。麻老师围绕着“怎样更像”进行了一次又一次的追问，让学生充分地体验了“极限思想”。

四、第三次探究，深化思维，推导公式
1、布置第三次探究任务。

师：刚才同学们借助学具通过动手操作，找到了解决问题的方法。可以折一折，也可以剪一剪、拼一拼，得到学过的图形。但数学学习不能仅停留在动手操作上，还要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。现在，老师想给大家提个更高的要求：能不能在动脑思考的基础上推导出圆的面积计算公式呢？这可是一个很有挑战性的任务！大家有没有信心完成？

生：有！

师：刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准，老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方法的示意图帮助你思考，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。

2、教师按照每个小组选择的方法分发学具。学生讨论，教师巡视指导。

评：操作对于小学生学习数学是必不可少的手段和方法，但数学思维的特点是要进行逻辑思考和推理。因此在这里，麻老师用下面的这段话“数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理”把学生的思考推向深入。同时，针对学生操作结果不标准的问题，麻老师为了提高推导的正确性，设计了示意图，帮助学生更加有效地推导圆面积的计算公式。

3、学生反馈。

师：这个小组迫不及待地想展示他们推导的结果了，我们一起来看看。

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