直线围成的曲线 高一数学说课稿

一、教学背景分析

本节课所选的内容：直线围成的曲线是属于解析几何《圆锥曲线》中的内容。《圆锥曲线》是人教版高中数学试验修订本第八章的内容。它是中学平面解析几何的重要内容，是教学的重点，也是教学的难点。本课是在学生掌握了直线与圆锥曲线的位置关系，以及圆锥曲线的有关知识的基础上，开设的一堂研究性学习课。让学生利用网络环境，借助于数学软件《几何画板》进行自主学习，探索数学知识，意在培养学生发现问题和解决问题的能力。

二、教学目标

1、认知目标：①加深对直线和圆锥曲线相切的认识；②了解数学概念包络的定义；

2、能力目标：①培养学生自主学习的能力；②利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力；③培养学生的创新意识和相互协作意识。

3、情感目标：创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣，强化学生自主学习和协作学习的意识。对学生进行对立统一的辨证唯物主义思想教育。

4、信息目标：①培养学生计算机的使用能力；②提高学生处理和运用信息的能力，提高学生的信息素养。

三、教法学法的选择

由于本节课是研究性学习课，所以采用教师给出研究目标，由学生自已利用《几何画板》，在网络环境的支持下，分小组进行协作学习的方式。由学生自已设计研究方法，自主探索发现问题的结论，并进行理论论证，教师在教学过程中只是导演，给出目标，并在学生的研究过程中出现困难时，给予一定的指导。以此发展学生思维的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学习”变成“主动会学”。其理论依据是建构主义的学习论，建构主义认为，知识的获得不是靠教师的讲授，而是学习者在一定的情境下，利用一定的资源，借助于一定的帮助，通过同学间的协作、会话等方式主动进行意义建构得到。

四、学习的重点、难点

学习的重点：探究直线围成的曲线类型及此曲线与定点的位置关系。

学习的难点：证明直线围成的曲线是圆锥曲线。

五、教学程序

（一）创设问题情境，激起研究兴趣

       教师先请同学做一个游戏：在圆纸片内画一点A（不同于圆心O），翻折纸片，使圆弧边沿经过点A，展开后得一折痕，然后再翻折纸片，使圆弧边沿经过点A，展开后又得一折痕；这样一直折下去……，你看到了什么？

       当学生得到的折痕越来越多时，他会发现这些折痕围成了一个椭圆。如图1所示：

       这时教师给出本节课的研究课题：直线围成的曲线，并打开几何画板课件《折纸》再现刚才同学们的游戏过程，并和同学们一起对这一过程进行分析，结果发现刚才的游戏过程实际上等价于如下的问题：已知一定圆⊙ ，A为一定点，若点B为圆上任一点，当点B在⊙ 上运动时，观察线段AB的中垂线，看它围成的图形是什么？图形与点A的位置有关吗？

       这就是我们今天的第一个研究目标。

如果我们面对的同学能力很强，这一建模过程也可以让学生自己完成，如果学生不能很好的完成这一建模过程，教师可以和同学一起来完成这一过程。

建模过程提示：过点A的圆弧与翻折前的圆弧关于折痕对称，点A关于折痕的对称点B在圆上。

[评析：这样我们以游戏开始，可以激发学生的兴趣，进而激起他们的研究热情。在这一过程中我们不仅给出了研究目标而且体现了数学建模的过程，即把生活中的问题转化成纯数学问题。]

       给出第一个目标后，由同学们自己打开《几何画板》，独立做出目标1的问题，并进行探索研究。（所做出的效果可以参见学生作品1）

       [评析：把课堂交给学生，由学生自己探求知识，充分体现知识的发生过程，也充分体现了学生的主体地位。这符合建构主义的学习论。]

（二）层层递进，把问题引向纵深

       借助于几何画板，同学们很快就可以得到目标1的结论，此时请部分同学交流一下自己的研究结果。教师做小结，结论如下：当点A在圆内时，线段AB的垂直平分线MF所围成的曲线为椭圆，特别当点A为圆心O时，线段AB的垂直平分线MF所围成的曲线为圆；当点A在圆外时，线段AB的垂直平分线MF所围成的曲线为双曲线，如图2、3所示。（注：此曲线为直线族MF的包络）

       得到此结论后，教师不失时机的说：同学们都非常出色地完成了第一个研究目标，但是同学们对第一个研究目标有没有疑虑和困惑？经过短暂的思考和讨论后，同学们会提出各种各样的想法和猜测。在同学们讨论的基础上，老师给出如下的问题：（1）线段AB的中垂线MF围成的图形一定是椭圆或双曲线吗？你能证明吗？（2）从目标一的研究过程中我们看到，直线族MF的包络是圆锥曲线，抛物线也是圆锥曲线，那抛物线在哪呢？什么情况下是抛物线呢？（3）若是我们把圆O换成其他曲线，问题会如何呢？比如换成椭圆，线段AB的中垂线MF围成的图形还是椭圆或双曲线吗？这就是我们今天所要研究的其他几个目标。

       研究目标2：线段AB的中垂线MF围成的图形一定是椭圆或双曲线吗？请你证明。

研究目标3：请你从抛物线的定义出发，研究一下在什么情况下，线段AB的中垂线MF的包络是抛物线，并给出必要的说明或是证明。

研究目标4：设点B是椭圆上任意一点，点A是平面上一定点，请你探求线段AB的中垂线MF的包络。

[评析：得出目标1后，老师引导学生对问题进行更深层次的研究，而且研究的目标并不是由教师直接给出，而是让学生充分的发挥想象力，大胆猜想。这样有利于培养学生的发散性思维和创新能力。在创新能力的培养过程中，发现问题往往比解决问题更重要。]

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