利用计算机进行数学实验案例设计(2)

8、你能用学过的知识证明上述结论吗？

证明：如图1，设点P（a,b）为坐标平面内任意一点，过点P作x轴的垂线段PM，垂足为M，延长PM至P`，则由轴对称的定义知，点P`为点P（a,b）关于x轴的对称点.易知，这两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数.（同理可证关于y轴对称的情况）对于中心对称的情形，连结PO并延长至P``，过P``作P``M`⊥x轴，垂足为M`，易知△OPM≌△OP``M`，可得MP=M`P``，OM=OM`，且方向相反，所以，点P``的坐标为（-a,-b）. （提示：利用三角形全等可以证明另外两种对称）

9、将上述实验过程中的点C改变为一条直线，例如直线y= f (x) =2x+4（这条直线的作法与作直线y=x类似，取直线上的两个整点，即横、纵坐标均为整数的点）,分别作出它关于x轴、y轴、原点、直线y=x、直线y= -x的对称图形，观察对称图形的位置，求出这些直线的方程（选中直线，点击鼠标右键选择方程）.填写下表2：

直线关于特殊直线和点的对称直线的方程的变化情况表

表2

观察对应的两个函数解析式之间的关系，能否得出一般性的结论？并试着进行证明.

实验结论： （1）函数y= f (x)的图象关于x轴对称的图象的方程为y= -f (x); (2) ……

10、用学过的相关知识证明上述结论.

证明：先证明关于x轴对称的情形，设点M (x,y)为函数y= f (x)的图象关于x轴对称的图形上的任意一点，则它关于x轴的对称点P`(x,-y)在函数y= f (x)的图象上,P`(x,-y)的坐标满足方程y= f (x)，即- y= f (x)，也就是y= - f (x).同理可以证明关于y轴、原点对称的情形.关于直线y=x、y= -x对称的情形，最好用解析几何中直线方程的相关知识，高二学生可以证明. 过程从略.

11、问题讨论：从步骤9中的结论可知，直线关于坐标轴、原点对称时，对称图形的方程只是自变量和函数值的符号发生了变化；关于直线y=x、y= -x对称时，对称图形的方程中自变量x和函数值y交换了位置、并且关于直线y= -x对称时符号发生了变化.那么，在直线y=x、y= -x的后面加上一个常数，即函数y= f (x)的图象关于直线y=±x+m　(m为常数)对称图形的方程会发生怎样的变化呢？可以再通过步骤9中提供的方法进一步验证.找到规律之后，进一步提出问题，一个二次曲线f (x,y)=0关于斜率绝对值为1的直线y=±x+m对称的曲线方程与原曲线方程之间的关系是什么？通过数学实验及归纳总结，学生并不难发现其中的规律.

12、对9中得出的结论在曲线中的再验证：以指数函数为例说明.具体操作步骤如下：第一步，打开几何画板，作一条线段，在上取一点，度量的长度，标注标签为.在[图表]菜单中选择“绘制新函数[F]”画出指数函数的图象.在上任取一点，作出点关于轴的对称点，选中和点，在[构造]菜单中选择“轨迹”，得到点随着点运动的轨迹.同理作出点关于轴、原点的对称点，分别得到相应的轨迹.第二步，分别画出函数，，的图象，对照它们与上述三种轨迹的位置，发现它们恰好与上述三种轨迹分别重合，说明9中得出的结论对指数函数是成立的.拖动线段上的点可以发现，随着值的变化，函数图象间的对应关系仍然保持.如图2所示.
 

图2

函数y=f (x) =的图象作关于直线y=±x+m (m为常数)对称变换的情形可以结合前面所述方法得到.

13、反思：这个实验充分体现了用实验的手段和归纳方法进行数学教育的思想：从若干实例出发（包括学生自己设计的例子）→在计算机上做大量的实验→发现其中的规律→提出猜想→进行论证和证明[1] .这里主要体现的是学生自己发现并作大胆的猜想，然后在老师的指导下进行证明.最终目的是学生自己提出问题，自己设计实验方法和步骤，作出猜想并探索证明方法，最后写出实验报告，从而提高自己的数学意识和用计算机解决数学问题的能力.传统的数学教学，突出的是对逻辑推理能力的训练，学生被动接受的成分要占主导，忽视了学生对数学知识的发现，许多学生只知其然，不知其所以然.数学实验是促进学生由被动接受转向主动探索学习的一种好形式.在实施数学实验的过程中，学生必然会遇到已经熟悉的数学对象，也必然会碰到很多奇妙的现象和新的数学结论，必然引发学生的好奇心，从而激发学生的求知欲，为他们打下了进一步深入学习的基础.从教师的角度看，用实验的方式教授数学是对传统教学方式的有益补充.促进教师的教学思想的更新，从“讲授知识”的权威模式向以“激励学习”为特色的顾问模式转变，这也正符合现在提倡的研究性学习对教师的要求