《导数与函数的单调性》教学设计

教学目标：

1．知识与技能：

理解导数与函数单调性的关系，会用导数法确定函数的单调区间，能确定函数的大致图像。

2．过程与方法：

（1）通过导数与函数单调性关系的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法。

（2）通过导数法求单调区间基本步骤的形成，体会算法思想。

3．情感、态度与价值观：

   通过导数法求单调区间，体会不同数学知识间的内在联系，体会导数的实用价值。

教学重点：函数单调性的判定和单调区间的求法

教学难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来

教法学法：

1、教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动--师生互动、共同探索；②导--教师指导、循序渐进

（1）新课引入--较简单的数学问题引入，帮助学生联想。

（2）理解导数的内涵，组织学生自主探索，获得用函数的导数判断函数单调性的法则。

（3）例题处理--始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。

（4）练习--深化对用函数的导数判断函数单调性的法则内涵的理解，巩固新知识。

2、学法：

（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（2）自主学习：引导学生动口、动脑、参与数学活动。

（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

教学过程：

一、复习引入

1. 函数的单调性：

   对于函数 定义域内的任意一个子集A，如果对于集合A中的任意两个自变量 ，当 时都有 （或 ）就称 在集合A上增加的（或减少的）。

2. 函数单调性的确定方法：

通过实例说明：如何确定f(x)=x2－4x＋3函数的单调性？

（1）图像法

（2）定义法

3.问题：

要确定函数 的单调性，用定义法讨论虽然可行，但比较麻烦.而图像法要求比较准确地作出函数的图像，如果函数图象不容易作出来时..我们是否有更为简捷的方法？

4.引入新课

    单调性解决的是随着自变量x的增加，y是增加还是减少的问题，而导数刻画的是y相对于自变量x的变化快慢问题，实际上，导数是比单调性更加精确地反映函数的变化趋势的一个量，因而，导数与函数的单调性肯定有关系，本节课我们就研究导数与函数单调性关系。

二、导数与函数的单调性之间的关系

1. 实例分析

探讨导数与函数f(x)=x2－4x＋3的单调性的关系

（1）    利用导数的几何意义探讨

（2）    利用代数法探讨

2.学生分组探讨

用导数的几何意义和代数法两种方法探讨

①一次函数：    

②指数函数： 

③对数函数：      

④二次函数：    

每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来。

由以上具体实例，导函数的符号与函数单调性之间有怎样的关系？

3. 分析理解

  单调性解决的是随 增加， 增大还是减少问题；导数刻画的是 相对于自变量 变化快慢问题，导数是比单调性更加精确地反映函数的变化趋势的一个量。

增大且越来越快  则 且越来越大 ；

增大且越来越慢  则 且越来越小；

减小且越来越快  则 且越来越小 ；

减小且越来越慢  则 且越来越大。

4.抽象概括：

一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1）如果在某个区间内，函数 的导数 ，则在这个区间上，函数 是增加的。

 2）如果在某个区间内，函数 的导数 ，则在这个区间上，函数 是减少的。

三．例题讲解，总结步骤

1、例1：用导数法讨论函数f(x)=x2－4x＋3的单调性.

解:   （1） 函数的定义域为R,     

（2） =2x-4

（3）令 >0,即2x-4>0，解得x>2，

则f(x)的单递增区间为（2，＋∞）.

再令 <0,即2x-4<0 ，解得x<2,

则f(x)的单调递减区间(－∞,2).

2、概括总结

通过本题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤

（1）确定函数f(x)的定义域.

（2）求出函数的导数 。

（3）由 >0,得函数的单调递增区间;由 <0,得函数的单调递减区间.

3、例2：求 的递增性与递减区间

由学生阅读课本上的求解过程，明确利用单调性可以确定函数的大致图象。

提问：课本为什么没写求定义域这一步骤？强调定义域必须写出来。

四、知识应用

1．应用导数求函数的单调区间

求函数 的单调区间。

一名学生上黑板作，其它学生练习本作。

2．应用导数信息确定函数大致图象

设 是函数 的导函数， 的图象如下图所示,则      

的图象最有可能的是(   ) 

                        

                                    

         (A)                      (B)                                                                                                    

                                                                         

     (C)                          (D)                                    

                                         

五、课堂小结

1、导数与函数的单调性的关系

2、利用导数确定函数单调性的步骤

①求定义域②求导数③解不等式得单调区间

3、体会数学思想方法。

六、达标测评

1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为(   )

（A）(-1,1) （B）(1,2)  (C) (-∞,-1)  (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 

2.函数y=a(x3-x)的减区间为 ,则a的取值范围为(   )

(A)a>0    (B)–1<a<1    (C)a>1   (D)0<a<1 

3.求函数 的单调区间。

七、作业布置

1.如果f(x)在某个区间上单调递增，那么在该区间上必有 >0吗?

2.已知导函数的下列信息：

试画出函数 图象的大致形状。

3.P28  习题3-1   1、2

4、预习：函数的极值

八、板书设计

                       

导数与函数的单调性

1. 导数与函数的单调性之间的关系    2. 导数法求函数的单调区间的步骤

                                  （1）确定函数f(x)的定义域.

      （2）求出函数的导数 。

         （3）由 >0,得函数的单调递增区间;

由 <0,得函数的单调递减区间.

 

九、教学反思

这节课虽然我整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出了（1）动——师生互动、共同探索；（2）导——教师指导、循序渐进，注意了让学生（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（2）自主学习：引导学生动口、动脑、参与数学活动。（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。在备课过程中，为了突出知识的发生过程，以便教会学生思考解决问题，我注意了以下几个方面：

1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；

2、从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；

3、从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

4、应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。

5、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，我让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

6、时刻注意我们的基本功：学生的计算能力一直是薄弱点，不可能只用两节课就能有所改善，所以在每节课我都刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间；所以从某种角度说，是节约了时间。

7、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解.

8、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

但是，本节课对学生还放的不够开，还不能算一节高效课堂。在相关文章

今后的教学中，应注重高效课堂的探索和实践，老师尽可能少讲，让学生动起来，引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探索新知。让学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。真正做到以学生为中心，学生100%参与，体现三维目标，培养学习能力。