数学的公理化

　　从1894年到1908年，皮亚诺接连五次出版了《数学论集》的续集，每一次都把他提出的五个公理（只是用0代1）作为算术的基础。但是皮亚诺除了逻辑符号之外，还有其他三个基本符号，即：数、零、后继。因此，他还不象弗雷格及罗素那样把数完全建立在逻辑基础上。

　　他的公理系统也是有毛病的，特别是第五公理涉及所有性质，因此须要对性质或集合有所证明。有人把它改为可数条公理的序列，这样一来，由公理系所定义的就不单纯是自然数了。斯科兰姆在1934年证明，存在皮亚诺公理系统购非标准模型，这样就破坏了公理系统的范畴性。

　　3  其他数学对象的公理化

　　在十九世纪末到二十世纪初的公理化浪潮中，一系列数学对象进行了公理化，这些公理化一般在数学中进行。例如由于解代数方程而引进的域及群的概念，在当时都是十分具体的，如置换群。只有到十九世纪后半叶，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻划它。群的公理由四条组成，即封闭性公理、两个元素相加（或相乘）仍对应唯一的元素、运算满足结合律、有零元素及逆元素存在。

　　群在数学中是无处不在的，但是抽象群的研究一直到十九世纪末才开始。当然，它与数理逻辑有密切的关系。有理数集体、实数集体、复数集体构成抽象域的具体模型，域的公理很多。另外，环、偏序集合、全序集合、格、布尔代数，都已经公理化。

　　另一大类结构是拓扑结构，拓扑空间在1914年到1922年也得到公理化，泛函分析中的希尔伯特空间，巴拿赫空间也在二十年代完成公理化，成为二十世纪抽象数学研究的出发点。在模型论中，这些数学结构成为逻辑语句构成理论的模型。

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