拉格朗日——数学上崇高的金字塔

——数学上崇高的金字塔 

18世纪有一位数学家曾被拿破仑以“数学上崇高的金字塔”这句话来形容和称赞。你知道他是谁呢？

他就是我想介绍的约瑟·路易·拉格朗日（Joseph-Louis La  grange 1736—1813）。你如果有机会翻看大学的物理力学书，你就会看到许多拉格朗日有关的方法、定理和发现。

可是你知不知道他并不是很早就显现对数学有兴趣，而是在看到一本“奇书”后，数学的兴趣火花才被点燃。后来在短短的一年时间独自研究数学，创立了一门新的数学。在16岁时（有人说是17岁，或19岁，历史较久，年代搞不清了）成为大学数学教授。

你会问：“你是不是在贩卖‘神童天才论’？哪有这样聪明的人呢？我是否也能像他那样？”

我的回答是：这世界是这么大，各种人有各种各样的才能。有些人在适当的条件和机会，把自己的才华发挥，作出对人类幸福有贡献的事业，他就算是一个有用的人。有些人就像高尔基所说的不能燃烧的木材，在泥沼里逐渐腐烂。一个人早晚什么时候有成就不是重要的事，最重要的是在他生命结束之前，他已作出了对人类有益的事。拉格朗日就是这样的一个人，或许这点我们可以学习他。

拉格朗日是在1736年1月25日诞生于意大利的都灵市（Turin），在1813年4月10日去世于法国的巴黎。

他的父亲是负责萨地拿区的军事官员，在当地算是有相当地位及财富，他共有11个孩子，拉格朗日是长子，其他大部分都夭折，只有少数生存到成年。

拉格朗日在都灵学校念书时，要学一些古典文学、希腊文，读一点欧几里得的《几何原本》和阿基米德的一些几何工作。可是他对这些数学并不感到兴趣。有一天，他读到英国数学家Halley在《哲学会报》（Philososphical Transactions）发表的《近世代数在一些光学问题上的优点》（On the excellence of the mod  ern algebra in certain optical problems），引起了他对数学的兴趣， 他开始研究和探索数学。

他少年时，他的父亲因搞投机买卖，把家产用尽。拉格朗日后来回顾这本来可以继承一大笔财产，转眼之间变成穷光蛋的日子，这样评述：“这是好事，如果我继承了财产，可能我就不会搞数学了。”这是很可能的事，意大利多了一个纨袴子弟，而人类就少了一个杰出的数学家。由于他掌握了当时的“现代数学分析”，都灵市的皇家炮兵学校请他当教授，他要教比他大许多的学生的数学。

19岁时，他写信给欧拉。当时欧洲最著名的数学家，讲他解决了“等周问题”（Isoperimetrical problem），这是50多年来 众人讨论的问题，他为了解决这问题创立了一些变分学（Calcu  lus of variation）。欧拉发现拉格朗日的方法比他以前找到的还要好，为了使这年青人能完成这工作，他把自己的工作收起来不发表，并鼓励拉格朗日继续这方面的工作，于是就有了后来数学的一个新分支——变分学。

变分学是研究力学一个重要的工具。

他在19岁时写的关于变分学的基础工作，他已经决定以后用来处理固体和流体的力学问题。

他在23岁时已经梦想写一本叫做《解析力学》的书，他想他的变分学可以用来处理一般力学问题，就像牛顿所发现的重力原理可以用来处理天体力学一样。

10年之后他写信给法国数学家达朗贝尔（D'Alembert），表示他19岁时发现的变分学是一个重要的工作，由于这个发现他能够统一处理力学问题。

他的看法今天还证明是正确的。 

二十二岁创立一学会 

在1758年他建立一个学会，讨论物理、天文及数学的问题，并连续出版5巨册科学上的论著，这些包含他9年来不停的研究，书完成之后，他的健康也受损坏，以后他常常感到忧郁。

他的第一册是关于声波的传播。他在里面指出牛顿对声波看法的一个错误，而且得到声波运动的微分方程。

在这册里还有一篇是关于弦振动问题的解说。在这之前，泰勒（Taylor）、达朗贝尔（D'Alembert）及欧拉曾考虑同样的问题，可是没有得到全部的解答。现在拉格朗日得到运动的曲线在任何时间t是形如

y=a Sin（mt）Sin（nt）

然后他讨论回声（echoes）、节拍（beats）及混声（Compound），用到了概率论和变分学。

第二册是利用变分学来解决一些力学问题。

第三册是专讲解析力学，也用到变分学。他也考虑一些积分学的问题。并解决了法国数学家费马提出的一个数论问题：“如果n是一个不平方的整数，找所有的x使得x²n+1是平方数。”

他也讨论了三个物体在互相吸引之下运动的一般微分方程。

人很早用望远镜发现月球总是有一面对地球，月球绕地球转动，也会自转，为什么有以上奇怪的现象：另外一个面为何羞答答的不让人们看到？

在1764年拉格朗日对以上的问题用力学来考虑，他用“虚功”（Virtual work）解决了以上的问题。

1766年欧拉离开了普鲁士，他推荐拉格朗日继承他的职位。腓德烈大帝（Frederic the great）亲自写聘书，里面说：“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家能在他的宫庭里工作。”拉格朗日就动身到普鲁士，一呆就呆了20年，在这期间写下了他的名著：《解析力学》（Analytique Mechanics）。 

他在这20年工作惊人，写了100到200多的论文给柏林科学院，都灵学会及巴黎科学院，有一些还是厚厚的巨册。他工作的方式是这样：当他决定写东西，就拿起笔一直写下去，一气呵成，很少有改动的地方。而且行文严谨文笔优美，很少错误。他的《解析力学》，后来爱尔兰的数学家和天文学家哈密尔顿（Hamilton，读者可读拙著第一册关于他的事迹）称赞为“科学上的诗歌”。 

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