《等差数列前n项和的公式》教案

d]；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式（I）和（II）的一些应用。

　　三、公式的应用（通过实例演练，形成技能）。

　　1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式）例2、计算：

　　（1）1+2+3+......+n

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)

　　（3）2+4+6+......+2n

　　（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　请同学们先完成（1）-（3），并请一位同学回答。

　　生5：直接利用等差数列求和公式（I），得

　　（1）1+2+3+......+n=

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)=

　　（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

　　师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？小组讨论后，让学生发言解答。

　　生6：（4）中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以

　　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　　　=n^2-n(n+1)=-n

　　生7：上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：
　　原式=-1-1-......-1=-n
　　　　　　　n个

　　师：很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解。

　　例3、（1）数列{a_n}是公差d=-2的等差数列，如果a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，求a1，d，S10。

　　生8：（1）由a₁+a₂+a₃=12得3a₁+3d=12，即a₁+d=4

　　　　　又∵d=-2，∴a₁=6

　　　　　∴S12=12 a₁+66×（-2）=-60

　　生9：（2）由a₁+a₂+a₃=12，a₁+d=4
　　　　　　a₈+a₉+a₁₀=75，a₁+8d=25

　　解得a₁=1，d=3 ∴S10=10a₁+=145

　　师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二），请同学们根据例3自己编题，作为本节的课外练习题，以便下节课交流。

　　师：（继续引导学生，将第（2）小题改编）

　　①数列{a_n}等差数列，若a₁+a₂+a₃=12，a₈+a₉+a₁₀=75，且Sn=145，求a₁，d，n

　　②若此题不求a₁，d而只求S10时，是否一定非来求得a₁，d不可呢？引导学生运用等差数列性质，用整体思想考虑求a₁+a₁₀的值。

　　2、用整体观点认识Sn公式。

　　例4，在等差数列{a_n}， （1）已知a₂+a₅+a₁₂+a₁₅=36，求S16；（2）已知a₆=20，求S11。（教师启发学生解）

　　师：来看第（1）小题，写出的计算公式S16==8(a₁+a₆)与已知相比较，你发现了什么？

　　生10：根据等差数列的性质，有a₁+a₁₆=a₂+a₁₅=a₅+a₁₂=18，所以S16=8×18=144。

　　师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a₁，a₁₆和d的，但由等差数列的性质可求a₁与a_n的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

　　师：由于时间关系，我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析，引导学生观察当d≠0时，Sn是n的二次函数，那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识Sn公式后，这留给同学们课外继续思考。

　　最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：

　　已知数列{a_n}的前n项和为Sn，若对于所有自然数n，都有Sn=

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