两角和与差的三角函数，解斜三角形·倍角公式

教学目标

1．使学生能够导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2．使学生能够正确运用二倍角公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值，证明三角恒等式，并推导三倍角的正弦、余弦、正切公式．

3．通过以上公式的推导，学生能够了解各公式间的内在联系，从而培养学生推导公式的能力及辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

教学重点是二倍角公式的推导、记忆及成立的条件．教学难点是灵活理解“二倍角”的含义，并熟练地解决有关问题．

教学过程设计

师：前几节课我们学习了两角和与差的三角函数，有几个非常重要的公式，请同学们回忆一下．

生：sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ．

sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ．

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ．

cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ．

师：说得很准确．上面这几个公式随着我们学习的深入，大家会愈发体会到它们的重要性，因为它们是本章各类公式的基础．这章公式虽然较多，但只要掌握了它们之间的内在联系．就能既快又准地记住．以上六个公式的内在联系可以用下表来表示：

（教师在画上表图时，一定要强调公式成立的条件，对不能用公式的问题要转化用其它方法解决，例如诱导公式等．）

师：下面请同学们共同思考一个问题，如何用sinα，cosα，tanα来表示sin2α，cos2α，tan2α？

生：可以利用前面学过的两角和与差的三角函数公式，当两个角相等，即α＝β时，问题就解决了，例如：

sin  2α＝sin（α+α）＝sinα·cosα＋cosα·sinα＝2sinα·cosα．

师：想得非常好．这正是老师多次向同学们强调的学好数学的八字方针，即“联想、对比、转化、应用”．在这个题目中的具体应用．这正是我们今天要学习的三角函数中很重要的一节的内容——二倍角的正弦、余弦、正切．

（教师板书课题，并请另一位学生叙述二倍角正弦、余弦、正切公式，用红粉笔写在黑板上．）

师：由推导过程可知，二倍角的三角函数公式是两角和的三角函数公式的特殊情况，大家在记忆时应注意公式间的联系．另外，由同角的三角函数关系sin2α＋cos2α＝1，公式C2α又可以变形为：

cos2α＝2cos2α-1

（要求学生在笔记本上推导过程．）

师：有了这组二倍角三角函数公式，我们是否就可以放心大胆地应用呢？

生：不行．还应考虑公式成立的条件．

师：非常好．我们在前面的两角和与差的三角函数公式中也遇到了类似的问题，请同学们联想前面的知识，讨论一下二倍角三角函数公式成立的条件．（这也是本节的教学重点．）

（给些时间请学生讨论，得结论．）

生：在二倍角的正弦和余弦公式中，角α没有限制，即α为任意角．但

∈Z时，公式才能成立，否则公式不成立．

师：你能阐述一下你的理由吗？

kπ，k∈Z时，tan2α是不存在的．因此以上两种情况均不能使用二倍角正切公式．

师：说得非常好．想得全面，说得充分．但我还有一个问题希望同

刚才同学说不能用二倍角正切公式解决，那又如何处理呢？

生：这种情况，可以改用诱导公式

师：考虑问题要周全，处理问题要讲究方法，要学会作多面手，善于运用所学的知识，用不同的方法来解决问题．通过我们的讨论，使二倍角公式趋于完善，大家运用起来得心应手，请大家将二倍角三角函数公式成立的条件写在公式后面．

（教师用红粉笔写在黑板上．）

师：在同学们熟悉了二倍角公式的基础上，我还有几点说明希望同学们注意．

第一，公式是用单角三角函数来表达二倍角的三角函数．

第二，要灵活理解“二倍角”的含义．二倍角公式不仅限于2α是

例

第三，一般情况下sin2α≠2sinα，当且仅当α＝kπ，k∈Z时，sin2α＝2sinα成立．同理，一般情况下，cos2α≠2cosa，tan2α≠2tanα．我留一个课下思考题，请同学们研究在什么条件下它们才能成立．下面请同学们看投影．

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