三角函数·正弦函数、余弦函数的性质·教案

教学目标

1．掌握正弦函数、余弦函数的性质．

2．通过学习正弦函数、余弦函数的性质，培养学生类比的学习方法和数形结合的思想．

教学重点与难点

难点是函数的周期性．

重点是正弦函数的性质．

教学过程设计

一、复习函数的性质

以前我们对函数性质的研究主要有以下几个方面：函数的定义域、值域、最值、奇偶性、增减性、对称性等．这里我们重点复习奇偶性、增减性及上节课讲的周期性．

（教师可打出投影片复习奇函数、偶函数的定义，函数单调性的定义及周期的定义．）

奇函数、偶函数的定义：若对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数；若对于函数定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）叫做偶函数．

函数的单调性：一般地，对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．

周期性的定义：对于函数y=f（x），T为不等于0的常数，若f（x＋T）=f（x）对于定义域内一切x都成立，则y=f（x）叫周期函数．T为此函数的周期．下面看几个例子．

例1  讨论y=ax2＋bx＋c（a＞0）的性质．

首先画出函数图象的示意图．由图象看出：

定义域  x∈R．

无最大值．

奇偶性  b≠0时，是非奇非偶函数．b＝0时，是偶函数．

大而减小．

例3  讨论y＝logax（0＜a＜1）的性质．

画出函数图象示意图2，可看出：

定义域  x＞0．

值域  y∈R．

最值  既无最大值，也无最小值．

奇偶性  是非奇非偶函数．

增减性  是减函数．

对称性  不具备对称性．

以上两个例子都是我们较为熟悉的函数，下面我们用这种方法研究我们刚刚学过的正弦函数和余弦函数的性质．

二、正弦函数的性质

由上述两个例子不难看出在讨论函数性质时要注意观察函数图象，所以在研究正弦函数的性质前，先画出y＝sinx的图象．（画此图象时，为了观察准确，应多画几个周期．）

从图象上可以观察出：

1．定义域：x∈R．

2．值域：y∈［-1，1］

3．周期性：正弦函数y=sinx是周期函数．2π是它的最小正周期，2kπ（k∈Z，k＝0）都是它的周期．

4．增减性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间．引导学生从图象上先标出一个增区间，

5．最值：最大值为1，最小值为-1，但取得最值的时刻不唯一．例

取到最小值．

函数值取最值．而如前面讨论的正弦函数取得最大值时，对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．

6．奇偶性：正弦函数的图象关于原点中心对称，从中可以看出正弦函数是奇函数．这点可以用代数方法证明如下：

设f（x）=sinx．因为

sin（-x）=-sinx，

即f（-x）=-f（x），由奇函数定义知正弦函数是奇函数．

7．对称性：从前面的讨论已经知道正弦函数的图象是中心对称图形，但除原点外正弦函数图象还有没有其它的对称中心呢？（引导学生将y轴左移或右移7π个单位，2π个单位，3π个单位，……即平移kπ个单位）正弦函数图象的对称中心也可以是点（0，0），点（π，0），点（2π，0），……即点（kπ，0），k∈Z．再引导学生仔细观

的，这是由它的周期性而来的．

在较为详细地研究了正弦函数的性质后，可以引导学生用类比的方法，写出余弦函数的性质，然后由教师给予订正．

二、余弦函数的性质

画出y＝cosx图象．

1．定义域：x∈R．

2．值域：y∈［-1，1］．

3．周期性：余弦函数y＝cosx是周期函数，最小正周期为2π．T=2kπ（k≠0，k∈Z）都是它的周期．

4．增减性：从余弦函数图象上可以看出，余弦函数在整个实数域上不具备单调性．但具有无数个单调区间，当x∈［2kπ，π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而减小；当x∈［π＋2kπ，2π＋2kπ］（k∈Z）时，y随x的增大而增大．

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