拿破仑定理的特例

　　我也有难言之隐，就是我的家族“人丁”不旺。二位的完全数只有28，三位的完全数只有496，四位的完全数只有8128。古希腊数学家欧几里德是我最真诚的朋友，早在公元前300年在他的《几何原本》中就为我们设计了“完全数公式”：“如果是一个质数，则一定是一个完全数。”尽管如此，寻找完全数还是十分艰难的。1456年，人们才找到了我的第五个同胞33550336；19世纪才找到了第九个同胞，它有37位；至1952年，人们已找到了我的12个同胞。我真诚地祝贺电子计算机的诞生，由于她的帮忙，使我的同胞数量加倍。到目前为止，记录在案的完全数家族的“人丁”共有24个，而且都是偶完全数。至于是否存在奇完全数，这个问题至今仍是个“谜”，这个谜使许多科学家彻夜未眠。

　　本家族个个本领非凡，猪八戒的“三十六变”，孙悟空的“七十二变”，在我们看来，也不过小戏法而已。你看，我们都变成一些连续自然数的和。

　　6=1+2+3；

　　28=1+2+3+4+5+67；

　　496=1+2+3+...+31;

　　8128=1+2+3+...+127；

　　......

　　你瞧，我们又变成2的一些连续自然数次幂之和：

　　　　　　再看，我们又变成从1开始的边疆奇数的三次方和：　　

　　同学们可别以为我们的本领只有这些，再露一手，让你见识见识；本家族的每一个同胞，它的所有因子的倒数之和都等于2；

　　同学们，你说我奇不奇，美不美？

　　　　　　选自《中学生数学》2001年12月下

　　华罗庚的退步解题方法

　　(江苏省盐城市城区永丰中学)费克翔

　　我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。

　　少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！

　　华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：

　　有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。

　　3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。

　　聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？“

　　为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。

　　这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。

　　看到这里。同学们可能会拍手称妙吧。后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解。他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。

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