哥德尔的发现——意想不到的结果（二）

2、1930年数理逻辑的状况

　　1930年前，整个数学界是非常乐观的：希尔伯特的思想占统治地位；数学是建立在集合论和数理逻辑两块基石之上；康托尔的朴素集合论已被公理集合论所代替，从而消除了悖论；选择公理是一个很好的工具，数学中许多部门都要用到它；连续统假设仍然是悬案，不过希尔伯特多次觉得自己已接近解决这个难题，看来前景是乐观的；大部分数学可以建立在谓词演算的基础上，而一阶谓词演算的公理系统是无矛盾的，尽管其完全性仍有待证明；整个数学的基本理论是自然数的算术和实数理论，它们都已经公理化。这些公理系统应该是无矛盾的、完全的，如果它们能够得证，并且集合论公理系统也能得到同样的结果，那么整个数学就比较牢靠了。

　　为了不使一小撮直觉主义者指手划脚、评头品足，希尔伯特提出他的计划：把理论系统形式化，然后通过有限多步证明它们没有矛盾。他信心十足，在1930年9月东普鲁士哥尼斯堡的科学会会议上，他批判了不可知论。

　　1928年希尔伯特提出四个问题：

　　1）、分析的无矛盾性。1924年阿克曼和1927年冯·诺依曼的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明。1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性。哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性，哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理。

　　2）、更高级数学的无矛盾性，特别是选择公理的无矛盾性。这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决。

　　3）、算术及分析形式系统的完全性。这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决，这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点。

　　4）、一阶谓词逻辑的完全性。这个问题已被哥德尔在1930年完全解决。

　　这样一来，哥德尔的工作把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的道路。[1][2][3]