《函数的概念》教学设计
函 数 的 概 念
教材分析
与传统课程内容相比,这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式.事实上, “先讲函数后讲映射” 比“先讲映射后讲函数”,有利于学生更好地理解函数概念的本质.第一,在初中函数学习基础上继续深入学习函数,衔接自然,利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解;第二,直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上,而不必花大量精力学习映射,使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念.
函数概念是中学数学中最重要的概念之一.函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中.通过实例,引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括,获得用集合与对应语言刻画的函数概念.
对函数概念本质的理解,首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等,初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数,引导学生以具体函数为载体、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质.教学重点是函数的概念,难点是对函数概念的本质的理解.
教学目标
1. 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.
2. 了解构成函数的三要素,会求某些简单函数的定义域和值域.
3.了解区间,无穷大等数学符号.
4.通过函数概念拓展延伸,使学生了解映射的意义
任务分析
学生在初中对函数概念有了初步的认识.这节课的任务是在学生原认知水平的基础上,用集合与对应的观点认识函数,了解构成函数定义的三要素,初步认识函数与映射是特殊与一般的关系.
教学设计
一、问题情景
1. 一枚炮弹发射后,经过60s落到地面击中目标.炮弹的射高为4410m,且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h=294t-4.9t2,(0≤t≤60,0≤h≤4410).
2. 近几十年来,大气层中的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况.
3. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
表6-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
问题:分析以上三个实例,对任一个给定的t,射高h、臭氧层空洞面积S、恩格尔系数是否有值与之对应?若有,有几个?
二、建立模型
1. 在学生充分思考和讨论的基础上,总结归纳以上三个实例中的变量之间的共同特点
在三个实例中,变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系:对于数集A中的任一个x,按照某个对应关系,在数集B中都有唯一确定的值与之对应.
2. 教师明晰
通过学生的讨论归纳出函数的定义:
设A,B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域,与x的值相对应的y叫作函数值,函数值的集合:{y|y=f(x),x∈A}叫作函数的值域.
注意:( 1 )函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
(2)符号f: A→B表示A到B的一个函数,其中定义域、对应法则、值域称为函数定义的三要素.三者缺一不可.
( 3 )集合A中的任意一个数,即一个也不能少, 集合B中存在唯一确定的数f(x)与之对应即既存在又唯一
(4) f表示对应关系,在不同的函数中,f的具体含义不同
(5)y=f(x)是函数符号,可以用任意的字母表示,如g(x)
(6)函数符号y=f(x)中的f(x)表示与x对应的函数值,是一个数,而不是f乘以x
3 思考:函数f(x)= 与g(x)= 是同一函数吗?
4 组织探究
一次函数,二次函数及反比例函数的定义域和值域
5 介绍区间和无穷大的有关概念
三、解释应用
[例 题]
1. 指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么?如何用集合与对应的观点描述它们?
(1)y=1,(x∈R). (2)y=ax+b,(a≠0).
(3)y=ax2+bx+c,(a>0). (4)y=kx,(k≠0).
解:(3)定义域:{x|x∈R},值域:{y|y≥ }对应法则f:自变量→a(自变量)2+b•(自变量)+c,即:f:x→ax2+bx+c
(1),(2),(4)略.
2. 已知:函数f(x)=
(1)求函数的定义域.
(2)求f(-3),f( )的值.
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
目的:深化对函数概念的理解.
3. 求下列函数的值域.
(1)f(x)=2x. (2)f(x)=1-x+x2,(x∈R).
(3)y=3-x,(x∈N).
解:(1){y|y≠0}. (2){y|y≥ }. (3){3,2,1,0,-1,-2,…}.
( 备用)4. (1)已知:f(x)=x2,求f(x-1).
(2)已知:f(x-1)=x2,求f(x).
目的:深化对函数符号的理解.
解:(1)f(x-1)=(x-1)2.
(2)f(x-1)=x2=[(x-1)+1]2=(x-1)2+2(x-1)+1.
∴f(x)=x2+2x+1.
[练 习]
1. 求下列函数的定义域.
2. 已知二次函数f(x)=x2+a的值域是[-2,+∞),求a的值.
3. 函数f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大整数,求:
(1)f(3.5),(2)f(-3.5).
四、拓展延伸
在函数定义中,将数集推广到任意集合时,就可以得到映射的概念.
集合A={a1,a2}到集合B={b1,b2}的映射有哪几个?
解:共有4个不同的映射.
思考:集合A={a1,a2,a3}到B={b1,b2,b3}的映射有多少个?
五 作业布置