拉格朗日——数学上崇高的金字塔

4=2²                         5=2²+1²                      6=2²+1²+1²

7=2²+1²+1²+1²                    8=2²+2²                    9=3³

10=3²+1²                           11=3²+1²+1²

12=3²+1²+1²+1²                  13=3²+2²

14=3²+2²+1²                     15=3²+2²+1²+1²

读者从以上的几个例子，可以相信这个结果是对吧！拉格朗日发现下面定理：“任何整数如果不是平方，可以表示成两个、 三个或四个的平方和”的证明。

另外他也发现一个很漂亮的关于素数的结果。对于任何整数n，我们用n！来表示这样的乘积n×（n-1）×（n-2）×…× 3×2×1。即

n！=n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×…×3×2×1 

例如1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2！=6

4！=4×3！=24，5！=5×4！=120，

6！=6×5！=720

拉格朗日发现如果n是素数（即除了1和它本身之外没有其他的约数。读者若想知道一些素数的性质，可参看拙著《数学与数学家的故事——第一集》里的《素数趣谈》一文）那么（n－1）！+1一定是n的倍数。

我们看n=2，3，5，7这几个例子

n=2我们有1！+1=2当然是2的倍数。当n=3我们有2！ +1=3也是3的倍数。取 n=5，我们有4！+1=25是5的倍数。取 n=7，6！+1=721=103×7明显是7的倍数。同样在1770年英国数学家威尔森（Wilson）也发现这结果并给予证明。近代数论的书籍，许多人称这结果为威尔森定理，事实上应该是把拉格朗日和威尔森并提才对。 

在代数上的工作 

他在方程式论上有一些工作。他在代数上最有名的一个定理就是关于群论子群的定理。

我们先讲一下“群”的定义。群是一个数学系统G有一个 二元运算“*”，满足下面性质：

（1）结合律  （a*b）*c=a*（b*c）

（2）有一个单位元e，即对于任何在G里的元素X，我们有

x*e=e*x=x

（3）对于任何x，我们一定能找到一个y，使得

x*y=y*x=e 

比方说对所有的整数，它对加法运算组成一个群，这里单位元就是0。

如果G的子集H对于该运算“*”是封闭，而且本身也组成一个群，那么这子集就叫子群。

好像前面的整数群的例子，所有的偶数集合组成一个子群。我们的群例子是有无限元素。

拉格朗日发现在有限群里，子群的之数个数一定是整个大群的约数。 

拉格朗日的晚年 

拉格朗日在柏林的时候，他的妻子患病，他专心的照顾她。不幸她却沉疴不治，最后去世，这令他非常难过。后来在巴黎时，他娶了法国天文学家李蒙涅（Lemonnie）的女儿。

原来拉格朗日很爱他的前妻，她的去世令他整个人消沉。他来到法国后，李蒙涅作为拉格朗日的好朋友邀请他来家里吃饭聊天，拉格朗日那时已是56岁的人了，对于科学方面已有所贡献，他也不想再做什么重要的工作。

小他差不多40岁的李蒙涅小姐却喜欢拉格朗日，她希望他能振作起来，能继续从事科研的工作。她希望他能把忧伤忘记，她愿意嫁给他，照顾他的生活。她那种坚决以身相许的决心，使得拉格朗日不得不娶她。

还好这位小姐是相当贤慧而且很有才干，拉格朗日结婚后有人照顾也变得振奋起来。他们的家庭生活是很幸福，日子过的很简单与节约，这样一直到76岁拉格朗日才去世。他没有留下后代。

拉格朗日很喜欢音乐。他对朋友解释他喜欢音乐的理由：音乐使他孤立，他不再需要听一些闲聊，能帮助他进行思考的工作。他说：“在听到音乐的第三个音节之后，我就听不到什么东西了，我把我的思想集中在考虑问题，往往这样我解决了许多难题。”

已经70岁的拉格朗日，想为“解析力学”这书的第二版作重改及扩充的工作。他不停的工作，就像年青时那样。可是由于衰老，他的身体不容易受头脑指挥。有一天他的妻子发现他昏迷在地上，由于跌倒头部撞到桌角而受伤。他必须躺在床上，他知道自己是病重，但是他仍旧坚持工作，他就像一个哲学家那样的沉着。

在去世前二天他叫蒙日（Monge）及其他的朋友来到床前和他们谈：“我的朋友们，昨天我就觉得病很重，我感到我快要死了，身体逐渐的衰弱。我感到我的力气的逐渐消失，我没悲伤、没有遗憾到达死亡。啊！死亡并不是可怕的，当它来时没有任何痛苦，这是最后的作用，没有什么不愉快。”

“在过一个时候再没有什么活动了，死充塞各处；死亡是身体的绝对休息。我希望死去；是的，我希望死，可是我的妻子却不愿意。我已经完成我的事业，我在数学上有一些名声。我从来没有憎恨谁，我也没有做过什么坏事，这样死是最好的。可是我的妻子却不愿意我死去……”

然后他就昏迷了，他终于在1813年4月10日去世，他活到76岁，这个朴素无华的数学家为人类留下许多丰硕的成果，他可以说是死而无憾！

拉格朗日死后埋葬在巴黎的圣贤祠（Pantheon）里。

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