数学文化——理性文明的火车头（二）

我们先看一看，不同的国家有不同的数学文化。

　　这是什么意思呢？就说两个不同的国家的政治制度学术氛围，决定了它的数学走向。比如说古希腊和中国的传统数学就不一样，古希腊的数学和中国古代数学是两种不同文化下面产生的。古希腊的数学它的背景是什么？古希腊是奴隶主之间的民主政治，男性的奴隶主他们之间有民主，奴隶没有民主，他们之间的选举，执政官来决定财政收入，决定是否战争宣战。在这样一种民主的，虽然是少部分人的民主的制度下面平等的学术交流。因为你要说服别人，大家要选举，平等的学术交流。于是它就需要构建一个公理化的数学体系，让大家来思考，比如说对顶角相等要不要证明。

　　中国的秦汉王朝就不是这样。虽然我们春秋战国时期也非常繁荣，学术非常繁荣，但是它是封建君王的政治，知识分子比如数学家就向君王进谏说，你照我的办法办，那么你就能够成功，你就能够治理国家，你就能使国家富强，请你君王来接受我的意见去实行。这样就需要什么呢？需要丈量田亩、征税、管理土方、要管理各个粮食之间的比例。于是就有我们的《九章算术》。《九章算术》就是管理国家的官方的文书。怎么样丈量田亩，要抽税呀；税怎么抽法，苞米玉米和小麦稻米互相之间的折扣怎么样，你如果是从甲地运到乙地，这个粮食运输价格该怎么定，这些地方就是《九章算术》的内容。它是方田章，数理章。这样一些章节都是在讲怎么样管理国家。

　　大家看看这是不是不同啊，最简单的一个就是这个，理性思维对顶角相等A=B，这个在中国人看来这个不要证明，这个证了它干什么，这个东西一看就明白了。但是古希腊就这样证，它的几何原本就是这样证的，就是A+C是一个平角，B+C也是平角，公理3等量减等量，大家都把C减掉，于是A=B。这么一种证明方法，是在古希腊时代才有，而我们中国没有。中国的古代算学角这个概念都没有，它认为角不需要，只要垂直就可以了，不需要有角的概念。我想这些地方都显示出两种不同文化方面，它们确实会产生不同的数学，所以数学它是和当时的政治制度，文化，学术氛围密切相关的。

　　其次一个问题，我就想谈一谈不同时代不同数学的时尚。

　　数学时尚是一阵一阵的，我刚才前面说过，古希腊时代数学的是比较严密的推理，到牛顿时代就是算，就是做，有成果就行。20世纪下半叶，数学的应用发展起来了，数学应用在我们中国还是比较缺乏，因为我们过去没有发达的工业，提不出来像样的数学物体要应用，所以我们往往在理论上面，理性方面强调比较多严格证明，这是很重要的。但是另外一点应用我们就比较落后。因为我们没有工业，缺乏强大的工业，提不出重要的问题出来，所以姜伯驹院士，北京大学姜伯驹院士他就说，20世纪下半叶，数学最大的进展是应用。你数学用得好你就赢了。这就是把下半叶计算机出现之后，把数学时尚改变了。原来仅仅是搞理论严格性，现在强调应用，这是数学的两个轮子，有的时候这个轮子转得快一点，有的时候那个轮子转得快一点，把这两个轮子都要，不是说只要一个轮子，那是不行的。

　　第二种数学时尚，就是绝对主义和经验主义。大家都有种感觉，数学大概是绝对正确。1+1总归等于2，不会有别的事情。确实在20世纪的上半叶，绝对主义盛行，就是因为什么事情都可以错，唯独数学是不会错的。后来歌德尔就说，这个不可能做到，有些数学是可以错的，数学很多本来就是错的，就是牛顿的微积分大家都知道，是不严格的，但是它的东西所反映的内容是对的，微积分的本质是对的，它表达方式上面有各种各样的差错，所以牛顿的数学不严格。中国古代数学比如说开方，它有的时候它也不严格，但这都是数学，它都是很好的数学，有价值的数学，所以整个数学其实是人做的。我们现代就是提倡经验主义的复兴，有许多事情大家在计算数学方面，很多就是说出来了，这好像是对的，为什么呢？我一时也说不清楚，先用了再说，所以数学也是在可以发生错误，在不断修改自己完善自己当中发展起来的。

　　还有一种时尚的问题，就是文化的背景，理性重要还是实用重要？这我就讲一个故事，就是巴斯卡跟费马他们两个人通信。1645年通信，就提到一个事情：有一笔赌金，甲乙两个人竞赌，输赢的概率都一样，都是1/2，谁先能够连赢累计达到5盘，就获得这笔赌金。但是一个特别的原因，突然终止了，那个时候甲赢了4局，乙赢了3局，问这笔赌金应该如何分配？这个问题是北大的史书中教授在8月份中央电视台上面也跟大家一起演讲过，他就把这个题目出给在场的观众，观众当中就说，这个应该4/7和3/7，因为一共赛了7局，你赢了4局拿4/7，我赢了3局拿3/7，这样是不是合理呢？巴斯卡和费马讨论，说是不行，不能这样做。他说我们再试一局，再试一局，假定试一局是甲赢了，甲就应该拿到全部的赌金，甲赢的概率只有1/2，所以应该是1/2×1拿到整个一笔赌金。那么如果说乙赢了呢？乙赢了就是乙应该拿1/2，因为是什么因为甲是4局，乙也是4局，大家平分。

　　所以乙如果赢了，乙拿1/2，甲拿1/2.好，那么根据这个概率，所以如果甲赢1/2×1拿1/2，然后再拿1/2当中的1/2，一共加起来是3/4，这就是它的最初的概率论的产生。中国打麻将很厉害的对不对，打了那么多麻将有没有产生概率论？没有。为什么？就是因为我们是在这种实用当中，功利性的，所以赢了就完了，不深究，不细究，缺乏这种非常细致入微的思考。这种数学思考非常重要，一个数学的发展全靠这种功夫。

　　我前面说过的，信息论、控制论，这种东西看起来不是数学的问题，你去研究它干什么？纳什研究是几个人在那里竞争，这里面有数学吗？觉得没有数学，但是它确实有数学。这就是理性和实用之间的关系。仙农当时研究信息量，说信息量这个东西，就是烽火台吧，燃起烽火台，敌人来了；没燃烽火台，就是报平安。0和1两种，那么我们用二为底的对数取1个信息量，但是如果在纣王宠妲己的时代，那个烽火随便燃，这个概率就不准了，你这个信息量就不对了，这个敌人来的概率就不对了，这个当然是我们代仙农的想法。仙农他自己的想法怎么样呢，概率对信息量有密切的关系，比如说信息量大小“狗咬人”不是新闻，因为狗咬人没有什么稀奇。“人咬狗”这个新闻信息量就大了，是不是？今天太阳升起，那没什么稀奇，这个信息量不大，你告诉我不告诉我都一样。今天日蚀了，哦，今天这是大事情，那么我们的信息量就很大，说事件的概率P越大，传送这个事情的信息量就越小，概率大了就没有意义了像这样的思考。我们中国传统的数学里面缺乏这样的思考，他就会去面对这样一些社会的需要去想一想，我这个信息量的大小，和一个事情发生的概率有联系，这就是他的天才之处。我觉得我们中国缺乏这样的文化，虽然我们也有烽火台，我们也传送信息，但是用什么人或者是数学文化当中有这样的精神，去思考这样一些很本质的问题，我们缺乏。

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