悖论及其解决方案(2)

　2、悖论动摇了整个数学的基础

　　1900年左右，数学已经发展成为一个庞大的领域了。当时纯数学大致分为算术—代数、几何和数学分析。随着第二次数学危机的解决，数学分析建立在极限理论基础上。而极限理论中，有些基本性质要由“单调有界的数列必有极限”这个定理来证明。这个定理从直观上看尽管很明显，但是追求严密性的数学家很早就要求不靠直观而靠逻辑来证明，要求一切定理都从比较简单的公理推导出来。

　　要推导极限的性质，必须对数列有明确的概念。这里的数不只是有理数，还包括无理数，这两种数构成实数的集合。所以，当务之急就是建立起严格的“实数”理论。戴德金在1872年发表了《这续性与无理数》这本专著，同年康托尔也发表实数理论的文章。康托尔通过一定的有理数序列（基本序列）来定义实数。而戴德金则利用有理数集合的分割来定义实数。他们的理论虽然逻辑上可靠，但是都不太自然，依赖于有理数的集合概念。这样一来，实数理论的无矛盾性就归结为有理数论，进而归结成自然数论的无矛盾性了。

　　自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地义、不容怀疑的。不过有些数学家如弗雷格和戴德金又进一步把自然数归结为逻辑与集合论。这样一来，集合论与逻辑成为整个数学的基础。罗素悖论一出现，集合论靠不住了，自然数的算术也成问题，这样一来，整个数学大厦都动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础跨掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地”。戴德金原来打算把《连续性及无理数》第三版付印，这时也把稿件抽了回来。他也觉得由于罗素悖论，整个数学的基础都靠不住了。

　　悖论涉及的是集合、属于、所有（全部）性质与集合的对应关系、无穷这些最基本的概念。这些：概念在数学中是天天必须用到的。如果不加以澄清，在数学证明的过程中，不是这里就是那里就会出毛病。

　　有了毛病，有的人就主张把集合论全盘推倒，只考虑有限的东西，这样不仅把数学内容砍掉了一大半，而且无穷的问题仍会出现。另一部分人则主张限制这些概念的使用范围，当然限制太多了，就缩小了数学领域，而限制太少了又会出现矛盾，所以要在这两者之间找到一种最好的解决办法。从二十世纪初，人们就一直在找，虽然并没有得到最终满意的解决，不过给数学提供一个可靠的基础还是可以办得到的。

　　3、罗素的类型论

　　1901年6月罗素发现了“悖论”。他在1902年6月16日把这个悖论告诉了弗雷格。他在1903年出版的《数学的原理》中，有一段可能是在1901年写的，他写道：“作为多的类与类的项具有不同的类型”：“整个秘密的关键是逻辑类型的不同”。对这个问题的解决，他只写了不到三十行。他还考查了其他的解决办法，觉得它们都不令人满意，于是得出结论：“没有适当的哲学涉及到上述的矛盾，这些矛盾直接从常识中得出，也只能通过抛弃掉某些常识的假定而解决”。但是在这本书出版之前，罗素感觉到这个题目还应该更加注意，于是他写了大约六页的一个附录，“尝试性地提出了类型论”，他要求在回答所有问题之前变成为更加精致的形式。自然，当时罗素已经知道其他的悖论了，例如布拉里·福蒂悖论和最大基数悖论。

　　大约1905年12月，罗素抛弃了类型论。为了克服由悖论引起的困难，他提出了三种理论：1、曲折理论，命题函数非常简单时才决定类，而当它们复杂时就不能决定类；2、限制大小的理论，不存在象所有实体的类的东西；3、非类理论，类和关系完全都禁用。这篇文章甚至投有提到类型论。1906年2月5日，罗素在这篇文章末尾加了一个注：“通过更进一步的研究，我一点也不怀疑非类理论能够解决本文第一节所陈述的所有困难”。这就是说，能够解决悖论。

　　非类理论的中心思想是它不讲满足某种结定语句的所有对象的类，而只讲语句本身和其中的代换。于是关于指定类的讨论都可以用语句和代换来表述。但是当我们讨论一般的类作为可量词化变元的值时，这种讨论德意义就不明显了。在这篇文章中，罗素已经承认对于大部分经典数学来说，非类理论的可能证明是不适当的。他在1906年2月加的附注中表现出他对于刚刚抛弃的类型论又重新燃起希望。果然，他很快就回来进一步细致地研究类型论，并于1906年7月发表论文了。

　　罗素把悖论加以分析之后认为：一切悖论的共同特征是“自我指谓”或自指示、自反性，它们都来源于某种“恶性循环”。这种恶性循环来源于某种不合法的集体（或总体或全体）。这类集体的不合法之处在于，定义它的成员时，要涉及到这个集体的整体。罗素悖论是最明显的例子。定义不属于自身的集合时，涉及到“自身”这个整体，这是不合法的，这种涉及自身的定义称为非直谓定义。所以要避免悖论，只需遵循“（消除）恶性循环原理”，“凡是涉及一个集体的整体的对象，它本身不能是该集体的成员”。根据这个原则，罗素提出他的分支类型论。

　　罗素把论域分成为等级或者类型，只有当满足某一给定条件的所有对象都属于同一类型时，我们才能谈到他们的全体，于是一个类的所有成员必定全都具有同一类型。同样，任何一个量词化的变元也必定有同一类型。这样罗素就引导谈论“所有”和“任何”的区别。“所有”由普遍量词的束缚变元来表示，它们跑遍一个类型；而“任何”则由自由变元来表示，它们可以指任何不确定的事物，而不管其类型如何。因此自由变元是没有任何妨碍的。

　　但是，分支类型论禁例太严，以致无法推出全部数学。为此罗素引进可化归公理：“任何公式都可以和一个直谓公式等价”。也就是都可以化为含n级变元的n＋1级公式。这样一来可以不必考虑约束变元的级了。这种类型论称为简单类型论。

　　由于集合（类）和谓词（命题函数）是平行的，因此我们可以用集合更简单地解释一下：简单类型论是由一系列层构成的系统，最底一层是第0级，上面各层、各级都是同一类的型构成，最低一层的元素称为个体，由这些个体所成的类就构成第一级的类，由一级的类为元素所成的类就构成第二级的类，依此类推。

　　1926年，英国年轻数学家拉姆塞把悖论区别为逻辑悖论（或谓词悖论、集合论悖论）及语义悖论（或认识论悖论）。他证明对于集合论悖论，简单类型论就足以消除。因为这种悖论只牵涉到谓词和变元的关系，它们不同级便可以消除悖论了。但是语义悖论要涉及到谓词本身，非得分支类型论不可。

　　虽然类型论可以消除悖论，但是缺点很多，非常烦琐，特别是可化归公理的引进，具有很大的任意性，因此受到很多批评。不过它的历史作用还是很大的，也借助它，罗素才实现他的逻辑主义纲领，完成前人没有完成的计划。

　　罗素和怀特海的《数学原理》出版之后，许多人对于其系统进行简化与改进。特别是哥德尔及塔尔斯基。1940年，丘奇给简单类型论一个新的表述。类型论至今仍是数理逻辑中主要的系统之一。[1][2][3]