悖论及其解决方案(3)

　4、策梅罗的公理集合论

　　1908年，策梅罗采用把集合论公理化的方法来消除罗素悖论。他的著名论文《关于集合论基础的研究》是这样开始的：“集合论是这样一个数学分支，它的任务就是从数学上以最为简单的方式来研究数、序和函数等基本概念，并借此建立整个算术和分析的逻辑基础；因此构成了数学科学的必不可少的组成部分。但是在当前，这门学科的存在本身似乎受到某种矛盾或者悖论的威胁，而这些矛盾和悖论似乎是从它的根本原理导出来的。而且一直到现在，还没有找到适当的解决办法。面对着罗素关于‘所有不包含以自己为元素的集合的集合'的悖论，事实上，它今天似乎不能再容许任何逻辑上可以定义的概念'集合'或’类'为其外延。康托尔原来把集合定义为我们直觉或者我们思考的确定的不同的对象做为一个总体。肯定要求加上某种限制，虽然到现在为止还没有成功地用另外同样简单的定义代替它，而不引起任何疑虑。在这种情况下，我们没有别的办法，而只能尝试反其道而行之。也就是从历史上存在的集合论出发，来得出一些原理，而这些原理是作为这门数学学科的基础所要求的。这个问题必须这样地解决，使得这些原理足够地狭窄，足以排除掉所有的矛盾。同时，又要足够地宽广，能够保留这个理论所有有价值的东西。”

　　在这篇文章中，策梅罗实行的计划，是把集合论变成一个完全抽象的公理化理论。在这样一个公理化理论中，集合这个概念一直不加定义，而它的性质就由公理反映出来。他不说什么是集合，而只讲从数学上怎样来处理它们，他引进七条公理：决定性公理（外延公理）、初等集合公理（空集公理、单元素公理、对集公理）、分离公理、幂集公理、并集公理、选择公理、无穷公理（稍稍改变一下原来形式）。

　　实际上策梅罗的公理系统Z（公理1至7）把集合限制得使之不要太大，从而回避了比如说所有“对象”，所有序数等等，从而消除罗素悖论产生的条件。策梅罗不把集合只简单看成一些集团或集体，它是满足七条公理的条件的“对象”，这样排除了某些不适当的“集合”。特别是产生悖论的原因是定义集合的所谓内函公理组，如今已换成弱得多的分离公理组。

　　策梅罗首次提出的集合论公理系统，意义是非常重大的。但是，其中有许多缺点相毛病。比如：公理3的确定性质的含义并不清楚，他的公理没有涉及逻辑基础，选择公理有许多争议等等。后来经许多人加以严格处理及补充，才成为严格的公理系统，即ZF或ZFS系统。其中Z代表策梅罗，F代表弗兰克尔，S代表斯科兰姆。这里面特别是有斯科兰姆和弗兰克尔进行的改进。但是一般的ZF中往往不包括选择公理，如果加进选择公理则写为ZFC（AC是Axiom of Choice的缩写，有时简写为C）

　　策梅罗的公理系统发表之后，遭到各方面的批评。特别是斯科兰姆1922年在8月份在赫尔辛基召开的第五届斯堪的纳维亚数学家大会上做了公理化集合论的报告，他对策梅罗公理系统提出了八点批评：

　　1、为了讨论集合，我们必须从对象“域”开始，也就是用某种方法构成的域；2、策梅罗关于确定的命题要有一个定义使得它精确化；3、在所有完全的公理化中，集合论的概念不可避免地是相对的；4、策梅罗的公理系统不足以提供通常集合论的基础；5、当人们打算证明公理的无矛盾时，谓语句所引起的困难；6、对象域B的不唯一性；7、数学归纳法对于抽象给出的公理系统的必要性；8、选择公理的问题。

　　另一方面，许多人对策梅罗公理集合论提出许多改进意见。首先Z太狭窄不足以满足对集合论的合法需要，有许多集合不能由它产生出来，也不能够由此造出序数的一般理论和超穷归纳法。为了弥补这个缺陷，弗兰克尔加进一个公理组即代换公理。另外，弗兰克尔还把公理以符号逻辑表示出来，形成了现在通用的ZF系统。

　　一般认为经过弗兰克尔改进的策梅罗集合论公理系统，再加上选择公理是足够数学发展所需的，但是还需要加一条限制性的公理，即除了满足这些公理的集合之外没有其他的集合。采取这样一个公理是出于一个悖论的启发，这个悖论最初是法国数学家米里马诺夫在1917年提出的。这个悖论涉及所谓基础集合，为了排除这种集合，冯·诺依曼引进公理9（基础公理），从而消除了上述悖论。

　　这样定义的集合论（ZF）中，虽说与连续统假设有关的“幂集公理”不留下疑点，但正因为不包含有很多问题的“选择公理（AC）”，所以纯粹性很高。虽然至今还不能给出ZF集合论的无矛盾性的证明，可是它已经没有必须大书特书的难点了。

　　常用的集合论公理系统除了ZF之外，还有由冯·诺依曼开创并由贝耐斯、哥德尔加以改进、简化的集合论公理系统—NBG系统（有时简称为BG系统，N代表冯·诺依曼，B代表贝耐斯，G代表哥德尔）。

　　大数学家冯·诺依曼在他年青的时候，开辟了公理化集合论的第二个系统。他第一个主要的数学研究就是重新考虑策梅罗—弗兰克尔对于集合论的公理化。在他的博士论文中论述了一般集合论的公理构造，这篇论文是他1925年用匈牙利文写的。但是他后来在两篇重要文章中用德文发表了其中主要的思想，一篇是《集合论的一种公理化》，另二篇是《集合论的公理化》。第一篇文章中他给出了自己的公理化体系，在第二篇文章中他详细地证明了怎样由他的公理系统导出集合论。

　　冯·诺依曼的处理方法是策梅罗公理化的推广。原来的理论基本上保持了下来，但是形式有所变化。表面看来新公理和旧公理非常不一样，但是主要是使用的语言有所变化。通常表示集合论的语言有两种，一种是集合和它的元素的语言，一种是函数及其变项的语言，这两种语言是等价的。

　　策梅罗用的主要是集合的语言，不过他也隐含地用函数的语言。而在弗兰克尔改进的理论里，这点就更加明显。冯·诺依曼选用的语言完全与策梅罗相反，他一开始就用变项和函数来叙述他的公理。

　　但是策梅罗—弗兰克尔和冯·诺依曼两个公理系统主要差别还不是语言的问题，而是如何在朴素集合论中排除悖论的方式。在策梅罗—弗兰克尔系统中，是通过限制集合产生的方式来达到这个目的的，他们把集合只限制在对于数学必不可少的那些集合上。但是从冯·诺依曼看来，这样施加限制有点不必要地过分严格，使得数学家在论证过程中失掉一些有时有用的论证方式，而这些论证方式似乎是没有恶性循环的。于是冯·诺依曼采取一个比策梅罗—弗兰克尔更广的概念，而同时却消除任何产生悖论的危险。

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