悖论及其解决方案(3)

　　按照冯·诺依曼的想法，悖论的产生也许是因为过大的总体所引起，更准确来讲，就相当于所有集合的集合，所以冯·诺依曼就觉得只要让这类总体成为元素，就可以避免悖论。

　　在冯·诺依曼的公理系统中，悖论是通过下面的方法来避免的；承认有两种类型的类，即集合和固有类。集合可以是其他类的成员，而固有类则不容许是其他类的成员。在这个公理系统中，我们就有三个原始概念：集合，类，属于关系。所以NBG中的定理不一定是ZF中的定理，不过可以证明ZF中的每个合适公式在ZF中可证明当且仅当在NBG中可证明。这样看来NBG是ZF的一个扩充，数学家可以根据自己不同的需要来选用自已认为方便的公理系统。比如哥德尔是在NBG公理系统中考虑选择公理及广义连续统假设的相对无矛盾性，而科亨则是在ZF公理系统中考虑选择公理及连续统假设的独立性。除了这两个最重要的集合论公理系统之外，还有好几个公理系统，但是它们的用途远不如ZF和NBG系统了。

　　尽管集合论公理系统建立起来，并得到广泛承认，但仍然存在许多问题，例如：不可达基数和序数是不是存在？；连续统假设是否能够证明；公理系统的协调性和独立性，……。从三十年代之后，为了解决这些问题，公理集合论掀开了新的一页。

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